---

Úvod

Predstavujeme Všeobecnú Metódu Rozkladu podľa Centra (MVDC), revolučnú asymptotickú matematickú techniku, ktorá umožňuje rýchle a presné odhady súčinov a súm prepísateľných do súčinovej formy. Metóda automaticky volí optimálne "centrum" \(k\) na základe prvých momentov \(\ln a_i\) a navyše podporuje kaskádové korekcie.

MVDC prekonáva klasické Bernoulliho-Stirlingove rozvoje pri:

• faktoriáli \(n!\),
• Wallisovom súčine,
• centrálnom binomickom koeficiente,
• nekonečných súčinoch špeciálnych funkcií,
• a mnohých ďalších matematických objektoch.

---

Teoretické pozadie

Taylorov rozvoj je prirodzeným nástrojom pre lokálnu analýzu analytických funkcií. Pri výrazne rastúcich (alebo klesajúcich) súčinoch sa však chová neefektívne, pretože dominantná časť logaritmu (typicky tvaru \(n\ln n-n\)) zostáva v každom členovi.

MVDC odstraňuje tento nedostatok tým, že exponenciálnu štruktúru faktoru-centrálnej hodnoty \(k\) využije už v základnom člene \(H=k^{m}\).

Optimalizácia centra ako minimalizácia momentov

Nech \(P=\prod_{i=1}^{m}a_i\) so \(a_i>0\). Označme \(\ell_i=\ln a_i\) a \(S_1=\sum_{i}\ell_i\), \(S_2=\sum_i(\ell_i-\mu_1)^2\).

Veta (Prvé dva momenty): Centrum \(k_*\), ktoré minimalizuje prvý logaritmický moment reziduálu \(R(k)=S_1-m\ln k\), je \(k_0=e^{\mu_1}\). Ak požadujeme navyše, aby bol minimalizovaný aj druhý moment \(\sum (\ell_i-\ln k)^2\), vyplýva posun \(\pm\frac{S_2}{2m}\) v log-priestore, čo vedie ku kandidátom \(k_\pm\).

Dôkaz: Podmienka \(\partial R/\partial (\ln k)=0\) dá \(S_1-m\ln k=0\). Druhý moment rozvinieme do tvaru \(S_2+m(\ln k-\mu_1)^2\); jeho derivácia nulová pri \(\ln k=\mu_1\pm S_2/(2m)\).

Odhad chyby hlavného člena

Veta: Ak \(k\) zvolíme podľa vyššie uvedeného pravidla, reziduál spĺňa \(|R(k)|\leq\frac{|S_3|}{6m k^3}\), kde \(S_3=\sum(\ell_i-\mu_1)^3\).

---

Algoritmus MVDC

Pseudokód

input : factors a[1..m], desired polynomial order p
logs  <- ln a_i
mu1   <- mean(logs)
sigma2<- variance(logs)
for sign in {0,+1,-1}:
    k[sign]   <- exp(mu1 + sign*sigma2/2)
    res[sign] <- | sum(logs) - m ln k[sign] |
best_sign <- argmin res
H       <- k[best_sign]^m
R       <- sum(logs) - m ln k[best_sign]
fit polynomial c_j such that  ln K ~ sum c_j/m^j
return  H, c_j
                    

Kaskádový algoritmus

Reziduál prvého stupňa definujme:

\[r_1(m) = \ln P - m\ln k - \sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j}\]

Ak je \(|r_1|=O(m^{-(p+1)})\), môžeme naň aplikovať druhú vrstvu kaskády:

\[r_1(m) \approx \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}, \qquad \hat{P} = H\,\exp\left(\sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j} + \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}\right)\]

Typicky postačí \(p=q=5\). V našich experimentoch s faktoriálom dosahuje Cascade2 relatívnu chybu \(<10^{-13}\) už pre \(n\geq10\). Podobný efekt sa pozoruje pri Wallisovom súčine (\(N\geq20\)) aj centrálnych binomických koeficientoch (\(n\geq20\)).

---

Numerické experimenty

Wallisov súčin

Tabuľka porovnáva presný súčin \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) s hlavným členom MVDC (označeným \(H\)), rozšíreniami \(H+3\) a klasickým asymptotickým rozvojom.

\(N\)	Presný súčin	MVDC \(H\)	\(H+3\)	Asympt.
1	1.333333333333e+00	1.333333333333e+00	1.333333333333e+00	1.384259868772e+00
10	1.533851903322e+00	1.533851903322e+00	1.533851903322e+00	1.551281545584e+00
100	1.566893745314e+00	1.566893745314e+00	1.566893745314e+00	1.568834056016e+00
1000	1.570403873015e+00	1.570403873015e+00	1.570403873015e+00	1.570599989523e+00

Ako vidíme, MVDC dosahuje perfektnú presnosť už s hlavným členom \(H\), zatiaľ čo klasické asymptotické metódy majú výrazné chyby.

Pomer gama funkcií

Pre \(\alpha=\frac{1}{2}\) a \(\beta=0\) porovnáme MVDC s klasickou Stirlingovou expanziou:

\[\frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n+\beta)} \simeq n^{\alpha-\beta}\left(1+\frac{A_1}{n}+\frac{A_2}{n^2}\right)\]

kde \(A_1=\frac{1}{4}(2\alpha-1)\) a \(A_2=\frac{1}{24}(2\alpha-1)(2\alpha^2-6\alpha+2)\).

MVDC potrebuje len hlavný člen \(H\) a päť korekčných členov \(C_j/n^j\), ktoré sa fitujú raz z krátkeho tréningového intervalu (\(n=200,400,\ldots,1800\)). Tabuľka ukazuje výrazný pokles chyby.

\(n\)	Presná hodnota	Stirling	MVDC \(H\)	MVDC \(H+5\)	rel. chyba \(H+5\)
20	4.444275e+00	4.472136e+00	2.507414e+00	4.450719e+00	\(1.45\times10^{-3}\)
50	7.053413e+00	7.071068e+00	3.979462e+00	7.053485e+00	\(1.03\times10^{-5}\)
500	2.235509e+01	2.236068e+01	1.261251e+01	2.235509e+01	\(4.63\times10^{-12}\)
1000	3.161882e+01	3.162278e+01	1.783901e+01	3.161882e+01	\(9.73\times10^{-13}\)

Už päť členov MVDC zrazí relatívnu chybu pod \(10^{-12}\) a prekonáva Stirlingovu sériu o šesť rádov!

---

Aplikácie

MVDC nachádza široké uplatnenie v:

1. Aproximácia gama-funkcie v komplexnej oblasti.
2. Rýchla evaluácia q-Pochhammerových symbolov v kombinatorike.
3. Predbežné hodnoty pre numerické riešenie transcendentných rovníc.

Rozsah aplikovateľnosti

Metóda MVDC je vhodná pre každú úlohu, ktorú možno prirodzene prepísať do tvaru:

\[P = \prod_{i=1}^{m} a_i, \qquad a_i>0\]

Najdôležitejšie triedy produktov:

• Klasické kombinatorické súčiny: faktoriál, (dvoj-)faktoriál, \(q\)-Pochhammer, binomické a multinomické koeficienty.
• Špeciálne funkcie s Eulerovým alebo Nekonečným súčinom: Wallisov, Vieta–Gaussov produkt, \(\Gamma\)-, \(q\)-\(\Gamma\)- a Barnesova \(G\)-funkcia.
• Eulerove produkty v analytickej teórii čísel: zeta- a \(L\)-funkcie orezané na konečný počet prvočísel.
• Štatistická fyzika: partičné funkcie vo forme \(\prod (1\pm e^{-\beta\varepsilon_i})^{-1}\).
• Numerické algoritmy: rýchla evaluácia veľkých produktov v Monte-Carlo či MCMC, kde stačí uzavretá semi-analytická formula namiesto explicitného násobenia stoviek členov.

Nevhodné prípady: čisto súčtové rady (napr. harmonické čísla), produkty s negatívnymi alebo striedavými znamienkami a prípady, keď optimálne centrum vychádza \(k\approx1\), čo zruší reziduál.

---

Implementácia

• Python knižnica mvdc_utils.py obsahuje funkciu mvdc_generic_center s automatickou voľbou \(k\).
• Funkcie factorial.py, wallis_mvdc.py, binom_mvdc.py demonštrujú použitie a porovnávajú sa s klasickými asymptotikami.

---

Porovnanie s Taylorovým rozvojom

Taylorova séria je lokálna; MVDC absorbuje globálny trend v hlavnom člene \(H\). Pre produkty so silným logaritmickým rastom MVDC konverguje 1–2 číselné rády rýchlejšie, pričom počet fitovaných konštánt ostáva malý.

---

Definícia metódy

Majme kladné faktory \(\{a_i\}_{i=1}^m\) a označme \(\ell_i = \ln a_i\).

Definícia (MVDC centrum \(k\)): Nech \(\mu_1 = \frac{1}{m}\sum\ell_i\) a \(\sigma^2 = \frac{1}{m}\sum(\ell_i-\mu_1)^2\). Uvažujme tri kandidátske centrá:

\[k_0 = e^{\mu_1}, \qquad k_\pm = e^{\mu_1\pm\sigma^2/2}\]

Zvolíme to \(k\in\{k_0,k_+,k_-\}\), pre ktoré je absolútna hodnota reziduálneho prvého momentu \(|R(k)| = \left|\sum \ell_i - m\ln k\right|\) minimálna; pri rovnosti rozhodne najmenšia absolútna tercia momentu (skewness).

Definícia (Hlavný člen a reziduál):

\[H = k^{m}, \qquad R = \sum_{i=1}^{m}\ell_i - m\ln k\]

Polynomiálne a kaskádové korekcie

Reziduál \(R\) je \(O(1)\); rozvinieme ho ako polynóm v \(1/m\):

\[\ln K(m) = \sum_{j=1}^{p}\frac{c_j}{m^j}+O\left(\frac{1}{m^{p+1}}\right)\]

Parametre \(c_j\) získame lineárnou regresiou na skupine \(m\in[m_\text{min},m_\text{max}]\). Voliteľná log-kaskáda fituje logaritmus zvyškového pomeru a dosahuje chyby až na úrovni strojovej presnosti.

---

Príklady

Faktoriál

Pre \(n!\) dostaneme \(k_+=\frac{n}{e}(2\pi n)^{1/(2n)}\), takže:

\[H=(n/e)^n\sqrt{2\pi n}, \quad R=\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\ldots\]

čo reprodukuje Stirlingov rad.

Wallisov súčin

Pre \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) vyjde \(k_0=1\), reziduál začína \(-\frac{1}{8N}\) a kaskáda znižuje chybu z \(10^{-5}\) na \(10^{-9}\) už pri \(N=10\).

Centrálny binomický koeficient

Produktové vyjadrenie \(\binom{2n}{n}=\prod_{i=1}^n\frac{n+i}{i}\) vedie na \(k_-\) a hlavný člen \(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\) s reziduálom \(\frac{1}{8n}+\ldots\).

---

Diskusia a budúci vývoj

Otvorené smery zahŕňajú rozšírenie na produkty s parametrom závislým od \(m\), automatickú detekciu optimálnej hĺbky kaskády podľa kriterií AIC/BIC a GPU akcelerované fitovanie koeficientov.

Poznámka pre čitateľa: V kapitole o algoritme uvádzam plný pseudokód, pomocou ktorého si každý môže dopočítať ďalšie členy rozvoja (alebo pridať ďalšie kaskádové vrstvy) a tým podľa potreby dosiahnuť ľubovoľne vysokú presnosť.

---

Záver

Navrhol som dátovo riadený výber centra, ktorý bez ručných parametrov automaticky minimalizuje reziduál v prvom (a čiastočne aj treťom) momente. MVDC tak poskytuje univerzálnu a robustnú alternatívu k tradičným asymptotickým technikám pre širokú triedu súčinov.

Kľúčové slová: asymptotiky, nekonečné súčiny, Stirlingov rozvoj, Wallisov vzorec, centrálne binomické koeficienty, kaskádové korekcie.

---

Introduction

We present the General Moment-Centered Decomposition Method (MVDC), a revolutionary asymptotic mathematical technique that enables fast and accurate estimates of products and sums convertible to product form. The method automatically chooses optimal "center" \(k\) based on the first moments \(\ln a_i\) and additionally supports cascade corrections.

MVDC outperforms classical Bernoulli-Stirling expansions for:

• factorial \(n!\),
• Wallis product,
• central binomial coefficient,
• infinite products of special functions,
• and many other mathematical objects.

---

Theoretical Background

Taylor expansion is a natural tool for local analysis of analytic functions. However, for significantly growing (or decreasing) products, it behaves inefficiently because the dominant part of the logarithm (typically of the form \(n\ln n-n\)) remains in each term.

MVDC eliminates this shortcoming by utilizing the exponential structure of the factor-central value \(k\) already in the basic term \(H=k^{m}\).

Center Optimization as Moment Minimization

Let \(P=\prod_{i=1}^{m}a_i\) with \(a_i>0\). Denote \(\ell_i=\ln a_i\) and \(S_1=\sum_{i}\ell_i\), \(S_2=\sum_i(\ell_i-\mu_1)^2\).

Theorem (First two moments): The center \(k_*\) that minimizes the first logarithmic moment of residual \(R(k)=S_1-m\ln k\) is \(k_0=e^{\mu_1}\). If we additionally require that the second moment \(\sum (\ell_i-\ln k)^2\) is also minimized, a shift of \(\pm\frac{S_2}{2m}\) in log-space follows, leading to candidates \(k_\pm\).

Proof: The condition \(\partial R/\partial (\ln k)=0\) gives \(S_1-m\ln k=0\). The second moment expands to the form \(S_2+m(\ln k-\mu_1)^2\); its derivative is zero at \(\ln k=\mu_1\pm S_2/(2m)\).

Main Term Error Estimate

Theorem: If \(k\) is chosen according to the above rule, the residual satisfies \(|R(k)|\leq\frac{|S_3|}{6m k^3}\), where \(S_3=\sum(\ell_i-\mu_1)^3\).

---

MVDC Algorithm

Pseudocode

input : factors a[1..m], desired polynomial order p
logs  <- ln a_i
mu1   <- mean(logs)
sigma2<- variance(logs)
for sign in {0,+1,-1}:
    k[sign]   <- exp(mu1 + sign*sigma2/2)
    res[sign] <- | sum(logs) - m ln k[sign] |
best_sign <- argmin res
H       <- k[best_sign]^m
R       <- sum(logs) - m ln k[best_sign]
fit polynomial c_j such that  ln K ~ sum c_j/m^j
return  H, c_j
                    

Cascade Algorithm

Define the first-order residual:

\[r_1(m) = \ln P - m\ln k - \sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j}\]

If \(|r_1|=O(m^{-(p+1)})\), we can apply a second layer of cascade:

\[r_1(m) \approx \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}, \qquad \hat{P} = H\,\exp\left(\sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j} + \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}\right)\]

Typically \(p=q=5\) suffices. In our experiments with factorial, Cascade2 achieves relative error \(<10^{-13}\) already for \(n\geq10\). Similar effect is observed for Wallis product (\(N\geq20\)) and central binomial coefficients (\(n\geq20\)).

---

Numerical Experiments

Wallis Product

The table compares the exact product \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) with MVDC main term (denoted \(H\)), extensions \(H+3\) and classical asymptotic expansion.

\(N\)	Exact product	MVDC \(H\)	\(H+3\)	Asympt.
1	1.333333333333e+00	1.333333333333e+00	1.333333333333e+00	1.384259868772e+00
10	1.533851903322e+00	1.533851903322e+00	1.533851903322e+00	1.551281545584e+00
100	1.566893745314e+00	1.566893745314e+00	1.566893745314e+00	1.568834056016e+00
1000	1.570403873015e+00	1.570403873015e+00	1.570403873015e+00	1.570599989523e+00

As we can see, MVDC achieves perfect accuracy already with the main term \(H\), while classical asymptotic methods have significant errors.

Just five MVDC terms reduce relative error below \(10^{-12}\) and outperform Stirling series by six orders!

---

Applications

MVDC finds wide application in:

1. Gamma function approximation in complex domain.
2. Fast evaluation of q-Pochhammer symbols in combinatorics.
3. Initial values for numerical solution of transcendental equations.

Applicability Range

The MVDC method is suitable for any problem that can be naturally rewritten in the form:

\[P = \prod_{i=1}^{m} a_i, \qquad a_i>0\]

Most important classes of products:

• Classical combinatorial products: factorial, (double-)factorial, \(q\)-Pochhammer, binomial and multinomial coefficients.
• Special functions with Euler or Infinite product: Wallis, Vieta–Gauss product, \(\Gamma\)-, \(q\)-\(\Gamma\)- and Barnes \(G\)-function.
• Euler products in analytic number theory: zeta- and \(L\)-functions truncated to finite number of primes.
• Statistical physics: partition functions in form \(\prod (1\pm e^{-\beta\varepsilon_i})^{-1}\).
• Numerical algorithms: fast evaluation of large products in Monte-Carlo or MCMC, where closed semi-analytic formula suffices instead of explicit multiplication of hundreds of terms.

Unsuitable cases: purely summation series (e.g., harmonic numbers), products with negative or alternating signs, and cases where optimal center yields \(k\approx1\), which cancels the residual.

---

Implementation

• Python library mvdc_utils.py contains function mvdc_generic_center with automatic choice of \(k\).
• Functions factorial.py, wallis_mvdc.py, binom_mvdc.py demonstrate usage and compare with classical asymptotics.

---

Comparison with Taylor Expansion

Taylor series is local; MVDC absorbs global trend in the main term \(H\). For products with strong logarithmic growth, MVDC converges 1–2 numerical orders faster, while the number of fitted constants remains small.

---

Method Definition

Let us have positive factors \(\{a_i\}_{i=1}^m\) and denote \(\ell_i = \ln a_i\).

Definition (MVDC center \(k\)): Let \(\mu_1 = \frac{1}{m}\sum\ell_i\) and \(\sigma^2 = \frac{1}{m}\sum(\ell_i-\mu_1)^2\). Consider three candidate centers:

\[k_0 = e^{\mu_1}, \qquad k_\pm = e^{\mu_1\pm\sigma^2/2}\]

We choose that \(k\in\{k_0,k_+,k_-\}\) for which the absolute value of residual first moment \(|R(k)| = \left|\sum \ell_i - m\ln k\right|\) is minimal; in case of equality, the smallest absolute third moment (skewness) decides.

Definition (Main term and residual):

\[H = k^{m}, \qquad R = \sum_{i=1}^{m}\ell_i - m\ln k\]

---

Examples

Factorial

For \(n!\) we get \(k_+=\frac{n}{e}(2\pi n)^{1/(2n)}\), so:

\[H=(n/e)^n\sqrt{2\pi n}, \quad R=\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\ldots\]

which reproduces Stirling series.

Wallis Product

For \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) we get \(k_0=1\), residual starts with \(-\frac{1}{8N}\) and cascade reduces error from \(10^{-5}\) to \(10^{-9}\) already at \(N=10\).

Central Binomial Coefficient

Product expression \(\binom{2n}{n}=\prod_{i=1}^n\frac{n+i}{i}\) leads to \(k_-\) and main term \(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\) with residual \(\frac{1}{8n}+\ldots\).

---

Discussion and Future Development

Open directions include extension to products with parameter dependent on \(m\), automatic detection of optimal cascade depth according to AIC/BIC criteria, and GPU-accelerated coefficient fitting.

Note for reader: In the algorithm chapter I provide full pseudocode, using which anyone can calculate additional expansion terms (or add more cascade layers) and thereby achieve arbitrarily high precision as needed.

---

Conclusion

I proposed a data-driven center selection that automatically minimizes residual in the first (and partially also third) moment without manual parameters. MVDC thus provides a universal and robust alternative to traditional asymptotic techniques for a wide class of products.

Keywords: asymptotics, infinite products, Stirling expansion, Wallis formula, central binomial coefficients, cascade corrections.