SK | EN

EDQ: Minimálne kroky kompatibility s VTR a QFT

EDQ: Minimal Compatibility Steps with GR and QFT

Tento dokument nepredkladá úplný dôkaz. Je to stručný zoznam toho, čo musí EDQ ukázať v limite, aby bolo opodstatnené hovoriť o zhode s VTR a QFT. Každý bod je konkrétna požiadavka na správanie mriežky \(\Omega\).

This document does not provide a finished proof. It is a short checklist of what EDQ must show in the limit to claim consistency with GR and QFT. Each item is a concrete requirement on the behavior of the \(\Omega\) grid.

Čo znamená „kompatibilita v limite“

What “compatibility in the limit” means

Aktuálny stav krokov

Current status of steps

Krok 1: Lorentzova invariancia a relativistické rovnice

Step 1: Lorentz invariance and relativistic equations

EDQ musí ukázať, že dlhovlnné excitácie na mriežke \(\Omega\) nemajú preferovaný rámec a v limite rešpektujú Lorentzovu symetriu. Znamená to správny disperzný vzťah, správnu maximálnu rýchlosť signálu a správnu transformáciu energie a hybnosti.

EDQ must show that long-wavelength excitations on the \(\Omega\) grid have no preferred frame and respect Lorentz symmetry in the limit. This requires the correct dispersion relation, a correct maximum signal speed, and the correct transformation of energy and momentum.

Cieľový disperzný vzťah (v limite): Target dispersion relation (in the limit):
\[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 \]

Rovnice, ktoré musia v limite vyjsť: Equations that must appear in the limit:
\[ \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1), \qquad \Box\equiv \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu =\frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2 \] \[ \left(\Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0 \quad \text{(Klein-Gordon)} \] \[ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m c/\hbar)\psi = 0 \quad \text{(Dirac)} \]

Prípustné korekcie (musia byť potlačené v merateľnom limite): Allowed corrections (must be suppressed in the measurable limit):
\[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 +(p^2c^2+m^2c^4)\,\mathcal{O}\!\left[ \left(\frac{pa}{\hbar}\right)^n+\left(\frac{mca}{\hbar}\right)^n\right], \; n \ge 2 \] Hodnota \(n\ge2\) vyžaduje príslušnú paritnú/inverznú symetriu mikrodynamiky; nie je automatickou vlastnosťou mriežky. The value \(n\ge2\) requires the corresponding parity/inversion symmetry of the micro-dynamics; it is not automatic for a lattice.

Pracovný mechanizmus EDQ

EDQ working mechanism

Čo treba explicitne odvodiť

What must be explicitly derived

Indikátory zhody v limite

Limit-agreement indicators

Kritériá vyvrátenia kompatibility

Compatibility falsifiers

Krok 2: Kalibračné symetrie a interakcie (QFT limit)

Step 2: Gauge symmetries and interactions (QFT limit)

EDQ musí vysvetliť, prečo sa lokálne fázy a väzbové premenné na hranách správajú ako kalibračné stupne voľnosti. Minimálnou požiadavkou je elektromagnetizmus s U(1) symetriou a odvodenie Maxwellových rovníc v príslušnom limite.

Okrem samotnej symetrie musí v limite vzniknúť aj unitárny a lokálne kauzálny opis, ktorý spĺňa zákon zachovania náboja a vedie na správne rozptylové amplitúdy.

EDQ must explain why local phases and edge link variables behave as gauge degrees of freedom. The minimal requirement is U(1) electromagnetism and its reduction to Maxwell’s equations.

Beyond the symmetry itself, the limit must also be unitary and locally causal, preserving charge currents and yielding the correct scattering amplitudes.

V tejto časti používame prirodzené jednotky \(\hbar = c = 1\), pokiaľ nie je uvedené inak. In this section we use natural units \(\hbar = c = 1\), unless stated otherwise.
Lokálna symetria fázy a kovariantná derivácia: Local phase symmetry and covariant derivative:
\[ \psi \rightarrow e^{i q \alpha(x)} \psi \] \[ D_\mu = \partial_\mu + i q A_\mu \]

Elektromagnetické pole ako krivosť spojenia: Electromagnetic field as curvature of the connection:
\[ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \]

Predpokladaný tvar kompatibility s U(1) na stromovej úrovni

Tree-level U(1) compatibility ansatz

Nasleduje štandardná mriežková konštrukcia, nie jej odvodenie z mikrodynamiky EDQ. Je kompatibilitným cieľom za predpokladu, že dlhovlnná efektívna dynamika má požadovanú lokálnu U(1) redundanciu. Kvantová unitarita, miera funkcionálneho integrálu a renormalizácia sa tu neodvodzujú.

The following is a standard lattice construction, not its EDQ micro-derivation. It is a compatibility target provided that the long-wavelength effective dynamics has the required local U(1) redundancy. Quantum unitarity, the functional-integral measure, and renormalization are not derived here.

Dôležité: \(\psi\) je spinorové pole hmoty (fermióny), ale \(A_\mu\) je vektorové kalibračné pole (spin-1 excitácie). Tieto objekty nemajú rovnaký transformačný zákon.

Important: \(\psi\) is a spinor matter field (fermions), while \(A_\mu\) is a vector gauge field (spin-1 excitations). These objects do not share the same transformation law.

Na hranách mriežky definujeme hranové premenné \(U_\mu(x)=\exp(i q a A_\mu(x))\). Nižšie používame značenie pre jediný sektor s jedným efektívnym väzbovým parametrom \(q\). U(1) kalibračná transformácia má tvar:

On lattice edges we define link variables \(U_\mu(x)=\exp(i q a A_\mu(x))\). Below we use a single-sector notation with one effective coupling \(q\). The U(1) gauge transformation is:

\[ \psi(x)\to e^{i q \alpha(x)}\psi(x), \qquad U_\mu(x)\to e^{i q \alpha(x)}\,U_\mu(x)\,e^{-i q \alpha(x+a\hat\mu)} \]

Najmenšia kalibračne invariantná slučka po obvode elementárnej bunky (plaquette) je:

The smallest gauge-invariant loop (plaquette) is:

\[ U_{\mu\nu}(x)=U_\mu(x)U_\nu(x+a\hat\mu)U_\mu^\dagger(x+a\hat\nu)U_\nu^\dagger(x) = \exp\!\big(i q a^2 F_{\mu\nu}(x)+\mathcal{O}(a^3)\big) \]

Navrhovaná mapa EDQ na fázu na hrane: nech mikrodynamika na hrane má tvar komplexnej amplitúdy \(T_\mu(x)=r_\mu(x)e^{i\phi_\mu(x)}\), kde vo vákuu \(r_\mu\approx 1\) a fáza nesie lokálnu informáciu o prechode. Po oddelení amplitúdovej časti dostaneme fázový faktor na hrane \(U_\mu(x)=e^{i\phi_\mu(x)}\). Lokálnu kalibračnú redundanciu a jej transformačný zákon treba ešte odvodiť zo stavového priestoru EDQ; zo samotného polárneho rozkladu nevyplývajú.

Candidate EDQ map to a link phase: let edge-level micro-dynamics be a complex amplitude \(T_\mu(x)=r_\mu(x)e^{i\phi_\mu(x)}\), with \(r_\mu\approx 1\) in vacuum and the phase carrying local transition information. After factoring out the amplitude part, we obtain the phase link \(U_\mu(x)=e^{i\phi_\mu(x)}\). The local gauge redundancy and its transformation law must still be derived from the EDQ state space rather than inferred from this polar decomposition.

Lokálne prefázovanie \(\psi(x)\to e^{iq\alpha(x)}\psi(x)\) mení hranový faktor ako \(U_\mu(x)\to e^{iq\alpha(x)}U_\mu(x)e^{-iq\alpha(x+a\hat\mu)}\). Preto žiadny člen lineárny v \(U_\mu\) nie je lokálne invariantný; najnižší lokálny invariant bez hmoty je slučka \(U_{\mu\nu}\) (plaquette).

A local rephasing \(\psi(x)\to e^{iq\alpha(x)}\psi(x)\) transforms the link as \(U_\mu(x)\to e^{iq\alpha(x)}U_\mu(x)e^{-iq\alpha(x+a\hat\mu)}\). Therefore, no term linear in \(U_\mu\) is locally invariant; the lowest local invariant in the pure gauge sector is the loop \(U_{\mu\nu}\) (plaquette).

Pole \(F_{\mu\nu}\) sa tak objaví ako krivosť spojenia v kontinuálnom limite. Najprv pracujeme na euklidovskej mriežke, kde je Wilsonov člen pre elementárnu slučku kladný:

The field \(F_{\mu\nu}\) thus appears as connection curvature in the continuum limit. We first work on the Euclidean lattice, where the Wilson plaquette term is positive:

\[ S_{g,E} = \kappa \sum_{x,\mu<\nu}\!\left(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}(x)\right) \;\longrightarrow\; \frac{\kappa q^2}{4}\!\int d^4x_E\,F_{\mu\nu}F_{\mu\nu} \]

Rozvoj pri slabom poli: \(\Theta_{\mu\nu}\equiv q a^2F_{\mu\nu}\), takže \(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}=1-\cos\Theta_{\mu\nu}\approx \Theta_{\mu\nu}^2/2\). Potom

Weak-field expansion: \(\Theta_{\mu\nu}\equiv q a^2F_{\mu\nu}\), so \(1-\mathrm{Re}\,U_{\mu\nu}=1-\cos\Theta_{\mu\nu}\approx \Theta_{\mu\nu}^2/2\). Then

\[ S_{g,E} \approx \frac{\kappa q^2 a^4}{2}\sum_{x,\mu<\nu}F_{\mu\nu}^2 \;\xrightarrow[\sum_x a^4\to \int d^4x_E]{}\; \frac{\kappa q^2}{4}\int d^4x_E\,F_{\mu\nu}F_{\mu\nu} \]

Elementárna slučka je najmenšia lokálna kalibračne invariantná slučka, nie jediný zdroj vedúceho operátora. Väčšie slučky tiež prispievajú k \(F^2\) členmi rádu \(a^4\) a menia jeho koeficient; po zladení tohto koeficientu sa ich rozdiel prejavuje vo vyšších deriváciách.

The plaquette is the smallest local gauge-invariant loop, not the only source of the leading operator. Larger loops also contribute to \(F^2\) at order \(a^4\) and change its coefficient; after matching that coefficient, their differences appear in higher-derivative terms.

Wickova rotácia do lorentzovského časopriestoru so signatúrou \((+---)\) zmení znamienko kinetického člena. Pre \(C_{\mathrm{EM}}\equiv\kappa q^2\) a \(S_{\mathrm{int}}=-\int d^4x\,J^\mu A_\mu\) je:

Wick rotation to Lorentzian spacetime with signature \((+---)\) changes the sign of the kinetic term. With \(C_{\mathrm{EM}}\equiv\kappa q^2\) and \(S_{\mathrm{int}}=-\int d^4x\,J^\mu A_\mu\):

\[ S_{g,M}=-\frac{C_{\mathrm{EM}}}{4}\int d^4x\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \] \[ \delta(S_{g,M}+S_{\mathrm{int}}) =\int d^4x\,\left(C_{\mathrm{EM}}\partial_\mu F^{\mu\nu}-J^\nu\right)\delta A_\nu \] \[ C_{\mathrm{EM}}\,\partial_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu \tag{M} \]

Rovnica (M) má teda správne znamienko zdroja. Zmena mierky poľa na kanonickú normalizáciu súčasne mení mierku fyzikálneho náboja a prúdu; \(C_{\mathrm{EM}}\) preto nemožno kalibrovať nezávisle od definície \(A_\mu\) a \(J^\mu\).

Equation (M) therefore has the correct source sign. Rescaling the field to canonical normalization also rescales physical charge and current, so \(C_{\mathrm{EM}}\) cannot be calibrated independently of the definitions of \(A_\mu\) and \(J^\mu\).

Homogénna rovnica je geometrická identita vyplývajúca z definície \(F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\):

The homogeneous equation is a geometric identity following from \(F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\):

\[ \partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0 \]

Ide o štandardné Maxwellove rovnice cieľovej efektívnej teórie na stromovej úrovni v limite \(a\to0\); ich vznik z konkrétnej mikrodynamiky EDQ zostáva podmienkou kompatibility.

These are the standard tree-level Maxwell equations of the target effective theory in the \(a\to0\) limit; obtaining them from concrete EDQ micro-dynamics remains a compatibility condition.

Podmienená rovnica kontinuity na mriežke

Conditional lattice continuity equation

Lokalita jednokrokovej matice \(U\) sama nezaručuje lokalitu \(H_{\text{eff}}=(i\hbar/\Delta t)\log U\). V tomto bloku preto robíme explicitný dodatočný predpoklad: existuje hermitovský generátor väzieb medzi najbližšími susedmi s imaginárnym Diracovým členom opisujúcim preskoky. Definujeme hustotu počtu častíc \(n(x,t)=\Psi^\dagger(x,t)\Psi(x,t)\) a použijeme \(i\hbar\partial_t\Psi=H_{\text{eff}}\Psi\).

Locality of the one-step matrix \(U\) does not by itself imply locality of \(H_{\text{eff}}=(i\hbar/\Delta t)\log U\). This block therefore makes an explicit additional assumption: a Hermitian nearest-neighbor generator with Dirac-type imaginary hopping exists. Define number density \(n(x,t)=\Psi^\dagger(x,t)\Psi(x,t)\) and use \(i\hbar\partial_t\Psi=H_{\text{eff}}\Psi\).

\[ (H_{\text{hop}}\Psi)_x=\sum_i\left[ -\frac{i\hbar}{a}K_i(x)U_i(x)\Psi_{x+a\hat i} +\frac{i\hbar}{a}U_i^\dagger(x-a\hat i)K_i(x-a\hat i)\Psi_{x-a\hat i} \right] \] \[ \partial_t n(x,t)=\frac{i}{\hbar} \Big[(H_{\text{eff}}\Psi)_x^\dagger\Psi_x- \Psi_x^\dagger(H_{\text{eff}}\Psi)_x\Big] \]

Pre hermitovské rýchlostné matice \(K_i\) dá priame dosadenie reálnu časť hranového bilineáru. Faktor \(\operatorname{Re}\), nie \(\operatorname{Im}\), je dôsledkom faktora \(-i\) v Diracovom člene opisujúcom preskoky:

For Hermitian velocity matrices \(K_i\), direct substitution gives the real part of the edge bilinear. The \(\operatorname{Re}\), rather than \(\operatorname{Im}\), follows from the \(-i\) in the Dirac hopping:

\[ J_{N,i}\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right) \equiv 2\,\mathrm{Re}\!\left[\Psi^\dagger(x,t)K_i(x)U_i(x) \Psi(x+a\hat{i},t)\right] \]

V tomto podmienenom lokálnom opise potom platí:

Within this conditional local description:

\[ \partial_t n(x,t) +\frac{1}{a}\sum_i\!\left[ J_{N,i}\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right)- J_{N,i}\!\left(x-\frac{a}{2}\hat{i},t\right)\right]=0 \]

Táto rovnica vyjadruje zachovanie počtu častíc, resp. normy. Pre jednu U(1) reprezentáciu s nábojom \(q\) sa nábojová hustota a tok definujú ako \(\rho_Q=q n\) a \(\mathbf J_Q=q\mathbf J_N\). Zachovanie fyzikálneho náboja vyžaduje, aby dynamika komutovala s príslušným generátorom náboja.

This is continuity of number/norm. For one U(1) representation of charge \(q\), define charge density and flux by \(\rho_Q=q n\) and \(\mathbf J_Q=q\mathbf J_N\). Conservation of physical charge requires the dynamics to commute with the corresponding charge generator.

Prúd počtu častíc a nábojový prúd v cieľovom Diracovom limite

Number and charge currents in the target Dirac limit

Pre 1D krok \(U(k)=e^{-ika\sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\) sa Diracov tvar získa v simultánnom kontinuálnom limite \(a,\Delta t,\theta\to0\), kde \(c=a/\Delta t\) a \(\theta=mc^2\Delta t/\hbar+o(\Delta t)\). V tomto limite:

For the 1D step \(U(k)=e^{-ika\sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\), the Dirac form is obtained in the simultaneous continuum limit \(a,\Delta t,\theta\to0\), with \(c=a/\Delta t\) and \(\theta=mc^2\Delta t/\hbar+o(\Delta t)\). In that limit:

\[ i\hbar\partial_t\psi= \left(-i\hbar c\,\sigma_z\partial_x+mc^2\sigma_y\right)\psi \] \[ n=\psi^\dagger\psi, \qquad J_{N,x}=c\,\psi^\dagger\sigma_z\psi, \qquad \partial_t n+\partial_x J_{N,x}=0 \]

V trojrozmernom Diracovom limite (\(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\)) rozlišujeme štvorprúd počtu častíc a nábojový štvorprúd. Pri \(x^0=ct\):

In the 3D Dirac limit (\(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\)), distinguish number and charge four-currents. With \(x^0=ct\):

\[ N^\mu=(cn,\mathbf J_N)=c\,\bar\psi\gamma^\mu\psi, \qquad \mathbf J_N=c\,\psi^\dagger\boldsymbol\alpha\psi \] \[ J^\mu=qN^\mu=q c\,\bar\psi\gamma^\mu\psi, \qquad J^0=c\rho_Q, \qquad \rho_Q=q\psi^\dagger\psi \]

Pre \(K_i=(c/2)\alpha_i\) sa všeobecný reálny tok cez hranu z predchádzajúceho bloku špecializuje na:

For \(K_i=(c/2)\alpha_i\), the general real edge flux from the previous block becomes:

\[ J_{N,i}\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right) =\frac{c}{2}\!\left[\Psi^\dagger(x,t)\alpha_iU_i(x)\Psi(x+a\hat{i},t)+\mathrm{h.c.}\right] \] \[ J_{Q,i}=qJ_{N,i}, \qquad \partial_t \rho_Q(x,t)+\frac{1}{a}\sum_i\!\left[J_{Q,i}\!\left(x+\frac{a}{2}\hat{i},t\right)-J_{Q,i}\!\left(x-\frac{a}{2}\hat{i},t\right)\right]=0 \]

V limite \(a\to0\) nadobudne tok počtu častíc tvar \(J_{N,i}=c\psi^\dagger\alpha_i\psi\) a nábojový tok je jeho \(q\)-násobok.

In the \(a\to0\) limit the number flux becomes \(J_{N,i}=c\psi^\dagger\alpha_i\psi\), and charge flux is \(q\) times this value.

Nízkoenergetický koeficient z unitárnej jednokrokovej matice \(U\)

Low-energy coefficient from the unitary one-step matrix \(U\)

Lineárna časť kvázienergického generátora určuje navrhovaný koeficient nízkoenergetického prúdu:

The linear part of the quasienergy generator determines the candidate low-energy flux coefficient:

\[ H_{\text{eff}}(\mathbf{k}) \equiv \frac{i\hbar}{\Delta t}\,\log U(\mathbf{k}) \] \[ H_{\text{eff}}(\mathbf{k}) = H_0 + \sum_i \left.\frac{\partial H_{\text{eff}}}{\partial k_i}\right|_{\mathbf{k}=0} k_i + \cdots \]

Vetva \(\log U\) je spojitá iba vo zvolenom okolí \(\mathbf{k}=0\). Aj pre lokálne \(U\) môže byť \(\log U\) priestorovo nelokálny, preto tento rozvoj sám nedokazuje lokálnu rovnicu kontinuity. Tú treba odvodiť priamo z konkrétneho kroku \(U\) alebo z explicitne lokálneho člena opisujúceho preskoky.

The branch of \(\log U\) is continuous only in the chosen neighborhood of \(\mathbf{k}=0\). Even for local \(U\), \(\log U\) can be spatially nonlocal, so this expansion does not by itself prove a local continuity equation. That equation must be derived directly from the concrete step \(U\) or from an explicitly local hopping generator.

Porovnaním s Diracovým limitom \(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\) (\(p_i=\hbar k_i\)) dostaneme priamo:

Matching to the Dirac limit \(H_{\text{eff}}\approx c\,\boldsymbol{\alpha}\!\cdot\!\mathbf{p}+\beta m c^2\) (\(p_i=\hbar k_i\)) gives directly:

\[ c_i\,\alpha_i = \frac{1}{\hbar}\left.\frac{\partial H_{\text{eff}}}{\partial k_i}\right|_{\mathbf{k}=0}, \qquad c_i = \frac{1}{d_s}\,\mathrm{Tr}\!\left[\alpha_i\,\frac{1}{\hbar} \left.\frac{\partial H_{\text{eff}}}{\partial k_i}\right|_{\mathbf{k}=0}\right], \qquad d_s\equiv\mathrm{Tr}\,\mathbf 1=\mathrm{Tr}(\alpha_i^2) \]

Pre jednorozmerný krok \(U(k)=e^{-ika\sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\) má rozvoj pri konečnom \(\theta\) tvar:

For the one-dimensional step \(U(k)=e^{-ika\sigma_z}e^{-i\theta\sigma_y}\), finite \(\theta\) gives:

\[ H_{\mathrm{eff}}=\frac{\hbar}{\Delta t} \left[\theta\sigma_y+ka\,\theta(-\sigma_x+\cot\theta\,\sigma_z)+\cdots\right] \]

Pomer \(c_{\mathrm{latt}}=a/\Delta t\) je maximálna mriežková rýchlosť pri každom \(\theta\), ale koeficient Diracovho kinetického člena sa s \(c_{\mathrm{latt}}\) stotožní až v simultánnom limite \(\theta\to0\).

The ratio \(c_{\mathrm{latt}}=a/\Delta t\) is the maximum lattice speed for every \(\theta\), but the Dirac kinetic coefficient coincides with \(c_{\mathrm{latt}}\) only in the simultaneous \(\theta\to0\) limit.

Kalibrácia v sústave SI (pracovný postup)

Calibration to SI units (operational recipe)

Po zvolení štandardných kovariantných SI konvencií \(x^0=c_0t\) a kanonickej normalizácie poľa sa mapovanie určí takto:

After choosing standard covariant SI conventions \(x^0=c_0t\) and canonical field normalization, the mapping is:

\[ c_{\text{EDQ}}=\lim_{a,\Delta t,\theta\to0}\frac{a}{\Delta t}, \qquad c_{\text{EDQ}}\stackrel{!}{=}c_0 \] \[ C_{\text{EM}}\equiv \kappa q^2 \stackrel{\text{canonical SI}}{=}\frac{1}{\mu_0}=\varepsilon_0c_0^2 \] \[ C_{\text{EM}}\partial_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu \quad\Longleftrightarrow\quad \partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu, \qquad \nabla\!\cdot\!\mathbf E=\frac{\rho_Q}{\varepsilon_0} \]

Rovnosť \(C_{\text{EM}}=1/\mu_0\) platí pre tieto štandardné definície \(F^{\mu\nu}\) a \(J^\mu=(c_0\rho_Q,\mathbf J_Q)\). Iná zmena mierky poľa zmení súčasne \(C_{\text{EM}}\), \(q\) aj normalizáciu prúdu.

The equality \(C_{\text{EM}}=1/\mu_0\) holds for these standard definitions of \(F^{\mu\nu}\) and \(J^\mu=(c_0\rho_Q,\mathbf J_Q)\). A different field rescaling changes \(C_{\text{EM}}\), \(q\), and current normalization together.

Nech \(n_{\text{EDQ}}\) je počet častíc pripadajúci na jeden uzol a \(\mathbf J_N\) je tok počtu častíc z vyššie uvedenej rovnice kontinuity na mriežke. Nábojový faktor \(Q_0\) potom dáva:

Let \(n_{\text{EDQ}}\) be number per site and \(\mathbf J_N\) the velocity flux in the lattice continuity equation above. A charge factor \(Q_0\) then gives:

\[ Q_{\text{SI}}=Q_0\,Q_{\text{EDQ}}, \qquad \rho_{\text{SI}}=\frac{Q_0}{a^3}n_{\text{EDQ}}, \qquad \mathbf J_{\text{SI}}=\frac{Q_0}{a^3}\mathbf J_N \] \[ \mathbf J_{\text{step}}\equiv\frac{\Delta t}{a}\mathbf J_N \quad\Longrightarrow\quad \mathbf J_{\text{SI}}=\frac{Q_0}{a^2\Delta t}\mathbf J_{\text{step}} \]

\(Q_0\) sa určí jedným referenčným meraním náboja (napr. elementárny náboj \(e\)); potom Coulombov zákon a rýchlosť šírenia slúžia ako kontroly konzistentnosti.

\(Q_0\) is fixed by one reference charge measurement (e.g., elementary charge \(e\)); then Coulomb’s law and propagation speed serve as consistency checks.

Dôsledky cieľového predpokladaného tvaru s U(1)

Consequences of the target U(1) ansatz

Podpora z literatúry kvantových prechádzok (orientačne)

Support from quantum-walk literature (context)

Literatúra o kvantových celulárnych automatoch a kvantových prechádzkach (napr. práce G. M. D'Ariano a spoluautorov) ukazuje, že vhodne definované diskrétne modely môžu v kontinuálnom limite reprodukovať relativistické rovnice pre bezhmotné aj hmotné polia.

Literature on quantum cellular automata and quantum walks (e.g., works by G. M. D'Ariano and collaborators) shows that suitably defined discrete models can reproduce relativistic equations for massless and massive fields in the continuum limit.

To však nie je automatický dôsledok ľubovoľnej mriežky. Vyššie je zapísaná štandardná konštrukcia kompatibility s U(1) na stromovej úrovni; jej premenné, koeficienty a oblasť platnosti treba odvodiť z mikrodynamiky EDQ.

This is not an automatic consequence of an arbitrary grid. For EDQ, the specific dynamics, symmetries, and validity regime must still be derived explicitly. The construction above is a standard tree-level U(1) compatibility target; EDQ still needs a micro-derivation of its variables, coefficients, and validity bounds.

Rozsah tvrdenia o QFT: regulátor nie je renormalizácia

Scope of the QFT claim: a regulator is not renormalization

Pri konečnom \(a\) Brillouinova zóna obmedzuje prípustné hybnosti na mriežke, ktorá slúži ako UV regulátor. Tento dokument nepočíta žiadne slučkové integrály a neukazuje renormalizovaný limit \(a\to0\). Preto zatiaľ nepreukazuje QFT kompatibilitu v zmysle kvantových korelátorov alebo rozptylových amplitúd.

At finite \(a\), the lattice bounds momenta by the Brillouin zone and acts as a UV regulator. This document computes no loop integrals and establishes no renormalized \(a\to0\) limit. It therefore does not yet establish QFT compatibility at the level of quantum correlators or scattering amplitudes.

Čo treba explicitne odvodiť

What must be explicitly derived

Indikátory kompatibility

Compatibility indicators

Kritériá vyvrátenia kompatibility

Compatibility falsifiers

Krok 3: Cieľ kompatibility so slabopoľovým limitom VTR

Step 3: Weak-field GR compatibility target

Nasledujúce rovnice sú cieľové podmienky, nie výsledok doterajšieho EDQ odvodenia. Ich reprodukcia by ukázala zhodu so slabopoľovým limitom VTR; samotný newtonovský zákon na to nestačí.

V úspešnom limite musia všetky testovacie polia zdieľať jednu efektívnu metriku, trajektórie telies musia zodpovedať jej geodetikám a musí vzniknúť slabý princíp ekvivalencie aj Einsteinov princíp ekvivalencie.

The equations below are target conditions, not results of the current EDQ derivation. Reproducing them would establish agreement with the weak-field GR limit; the Newtonian law alone is not sufficient.

In a successful limit, all test fields must share one effective metric, test-body trajectories must follow its geodesics, and both weak and Einstein equivalence principles must emerge.

Cieľová PPN metrika so signatúrou \((+---)\) a Poissonova rovnica: Target PPN metric with signature \((+---)\) and Poisson equation:
\[ \nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho_m \] \[ g_{00}=1+\frac{2\Phi}{c^2}+2\beta\frac{\Phi^2}{c^4}+\cdots, \qquad g_{ij}=-\left(1-2\gamma\frac{\Phi}{c^2}\right)\delta_{ij}+\cdots \] \[ \gamma\stackrel{\text{GR target}}{=}1, \qquad \beta\stackrel{\text{GR target}}{=}1 \] \[ G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} \stackrel{\text{GR target}}{=}\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \]

Navrhovaný predpoklad EDQ (slabé pole)

EDQ candidate ansatz (weak field)

Čo treba explicitne odvodiť

What must be explicitly derived

Minimálne testy kompatibility

Minimal compatibility tests

Kritériá vyvrátenia kompatibility

Compatibility falsifiers