Collatz_domnienka

Úvod

Tento článok bude o Collatzovej domnienke (1) (Collatz conjecture). Tento problém je tiež známy pod názvami 3n + 1 problém, Ulamov problém (podľa Stanisława Ulama), Kakutanov problém (podľa Šizua Kakutaniho), Thwaitov problém (podľa sira Bryana Thwaitesa), Hassov algoritmus (podľa Helmuta Hasseho) alebo tiež ako Syrakuský problém. Collatzovú hypotézu doposiaľ nikto uspokojivo matematicky nedokázal. Jeffrey Lagarias v roku 2010 uviedol, že Collatzova domnienka „je mimoriadne zložitý problém, ktorý je úplne mimo dosahu súčasnej matematiky“. Pred ním podobný výrok vyslovil Paul Erdős (zhruba: matematika nie je pripravená na takéto problémy). No pravda môže byť aj značne jednoduchšia, že matematici nie sú zatiaľ pripravení/schopní riešiť takéto matematické problémy.

YouTube dokument (2) o tejto domnienke/hypotéze si môže čitateľ pozrieť napr. tu:

Screenshot - 24_ 6jpg

Definícia

Zadefinovanie tejto domnienky je triviálne (riešenie nie). Domnienka môže byť zhrnutá nasledovne. Zoberme akékoľvek kladné celé číslo n. Ak je n párne číslo, vydelíme ho dvoma, získame tak n/2. Ak je n nepárne číslo, vynásobí sa tromi a pripočíta sa jednotka, tj 3n + 1. Tento postup sa ďalej opakuje. Domnienka je taká, že nezáleží na tom, aké počiatočné číslo n je zvolené – výsledná postupnosť vždy nakoniec dôjde k číslu 1.

Zdrojový kód/aplikácia

Pre vyskúšanie si tejto hypotézy si môže čitateľ stiahnuť zdrojový kód v Pythone, resp. aplikáciu - collatz.exe.
collatz_appjpg
obr. 1 Aplikácia na výpočet Collatzovej hypotézy - verzia 1.0.
verzia 1.0 :
stiahnuť kód z GitHub: collatz.py
alebo stiahnuť ".exe" súbor: collatz.rar (komprimované WinRar, velkosť:72MB)
verzia 1.1: (vypíše aj maxima, kivy app)
stiahnuť kód z GitHub: collatz1.py
alebo stiahnuť ".exe" súbor: collatz1.rar (komprimované WinRar, velkosť:80MB)

POPIS: Algoritmus obsahuje výpočet  pre rôzne čísla - n s vykreslením priebehu. V prípade, že zadáme interval vypočíta sa pre všetky čísla - n z intervalu dosiahnute maximum a vykreslí priebeh týchto maxím.
collatzjpg
obr.2 Aplikácia na výpočet Collatzovej hypotézy - verzia 1.1.



Možná cesta k riešeniu (náčrt)

A) Žiadne celé číslo(integer) sa z hľadiska pravdepodobnosti nemôže dostať k nekonečnu (vrchol), pretože existuje pravdepodobnosť limitne blížiaca sa k p=1, že postupnosť C(n): 3n + 1 , resp.  n/2 časom nutne narazí na zostupnú líniu (2,4,8,16,32...) - 2^x. Dalo by sa to formulovať čiste matematicky korektne s dôkazom z hľadiska pravdepodobnosti.
B) Nevieme vylúčiť, že sa vývoj nedostane do slučky opakujúcej sa sekvencie čísiel, čím by postupnosť neskončila na 1. Empiricky sa preverili čísla zhruba do 2 ^ 68. Všetky skončili na 1. Tu môže dôjsť ku komplikácii v zmysle, že prečo nemôže sekvencia C(n) klesnúť na hodnotu ktorú už dosiahla. Pretože ak by klesla na úroveň, ktorú už dosiahla vznikla by slučka opakujúcich sa čísiel.  Z hľadiska pravdepodobnosti sa preverilo  veľa čísiel a k žiadnej  slučke algoritmus nedošiel. Teda musí existovať 100% dôvod,prečo tomu tak je. Teda niekde na pozadí by sa možno dal odvodiť princíp, prečo k slučke nemôže dôjsť.

Zdroje:

(1) Collatz conjecture
(2) https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg