Collatzov problém - tajomná perióda
Úvod
Tento krátky článok bude o tajomnej perióde, ktorá sa objavila v pokročilých testoch Collatzovej hypotézy. Tento článok priamo nadväzuje na publikáciu o Collatzovej domnienke (1). Neskoršie bude pridaná podrobná publikácia o tomto testovaní. Pri testovaní si každý všimne opakujúce sa vzory - fraktály v testoch. Zdrojový kód programov pre testovanie si čitateľ môže stiahnuť (viď. nižšie) a preveriť sám.
Testovanie Collatzovej hypotézy
V krátkosti ide o testovanie odvodených vzťahov z publikácie (1), pričom programy obsahujú aj vzťahy pre 3n+1, nie len pre 3n-1. Princíp testovania je v tom, že sa hľadá taka sekvencia po sebe idúcich čísiel - vzor, kde začiatok a koniec sekvencie nadobudne rovnakú hodnotu.
Obr.1 ukazuje základné premenné, ktoré sa rátajú v programe. Pre základný fraktál (basic fractal) v publikácii (1) existuje popísaný analytický dôkaz, že okrem triviálneho riešenia už neexistuje, aby delta=0. Teda začiatok a koniec nikdy neskončí na rovnakej úrovni.
Basic fractal test
stiahnuť kód z GitHub: basic_fractal_test_collatz.py
Obr.2 Priebeh delta pre základný fraktál.
Z priebehu vidíme opakujúce sa sekvencie. Program aj vypíše hodnoty delta, aj rozdiely (diference) medzi hodnotami posunutými o periódu T=665.
Simple test Collatz
stiahnuť kód z GitHub: simple_test_collatz.py
Obr.3 Priebeh delta pre jednoduché kombinácie.
Z priebehu vidíme opakujúce sa sekvencie. Program aj vypíše hodnoty delta, aj rozdiely (diference) medzi hodnotami posunutými o periódu T=665.
Advanced Collatz test
stiahnuť kód z GitHub: advanced_test_collatz.py
Obr.3 Priebeh delta pre pokročilejšie kombinácie.
Z priebehu vidíme opakujúce sa sekvencie. Program aj vypíše hodnoty delta, aj rozdiely (diference) medzi hodnotami posunutými o periódu T=665.
Vyhodnotenie:
Pre všetky tri druhy testov vychádza perióda T=665 opakujúcich sa hodnôt, ktoré nie su však identické, no rozdiel(diference) je maličký. Pre čoraz zložitejšie testovanie, teda pre úplne testovanie všetkých možných kombinácii je potrebný obrovský výkon PC, pretože perióda je až T=665, čo znamená, že musí byť až a=1000 (počet vrcholov fraktálu). Predpoklad však je ten, že aj pre fraktál so všetkými možnými kombináciami bude existovať uvedená, záhadná perióda T=665. Ten predpoklad vychádza práve z týchto 3 druhov testov. Čo presne sa testuje a ako je uvedené v zdrojových kódoch jednotlivých programov.
Referencie:
(1) link na publikáciu (google docs): odkaz