Úvod

Tento krátky článok bude o tajomnej perióde, ktorá sa objavila v pokročilých testoch Collatzovej hypotézy. Tento článok priamo nadväzuje na publikáciu o Collatzovej domnienke (1). Neskoršie bude pridaná podrobná publikácia o tomto testovaní. Pri testovaní si každý všimne opakujúce sa vzory - fraktály v testoch. Zdrojový kód programov pre testovanie si čitateľ môže stiahnuť (viď. nižšie) a preveriť sám.

---

Testovanie Collatzovej hypotézy

V krátkosti ide o testovanie odvodených vzťahov z publikácie (1), pričom programy obsahujú aj vzťahy pre 3n+1, nie len pre 3n-1. Princíp testovania je v tom, že sa hľadá taka sekvencia po sebe idúcich čísiel - vzor, kde začiatok a koniec sekvencie nadobudne rovnakú hodnotu.

Obr.1 ukazuje základné premenné, ktoré sa rátajú v programe. Pre základný fraktál (basic fractal) v publikácii (1) existuje popísaný analytický dôkaz, že okrem triviálneho riešenia už neexistuje, aby delta=0. Teda začiatok a koniec nikdy neskončí na rovnakej úrovni.

Basic fractal test

stiahnuť kód z GitHub: basic_fractal_test_collatz.py

Obr.2 Priebeh delta pre základný fraktál.

Z priebehu vidíme opakujúce sa sekvencie. Program aj vypíše hodnoty delta, aj rozdiely (diference) medzi hodnotami posunutými o periódu T=665.

---

Simple test Collatz

stiahnuť kód z GitHub: simple_test_collatz.py

Obr.3 Priebeh delta pre jednoduché kombinácie.

Z priebehu vidíme opakujúce sa sekvencie. Program aj vypíše hodnoty delta, aj rozdiely (diference) medzi hodnotami posunutými o periódu T=665.

---

Advanced Collatz test

stiahnuť kód z GitHub: advanced_test_collatz.py

Obr.3 Priebeh delta pre pokročilejšie kombinácie.

Z priebehu vidíme opakujúce sa sekvencie. Program aj vypíše hodnoty delta, aj rozdiely (diference) medzi hodnotami posunutými o periódu T=665.

---

Vyhodnotenie:

Pre všetky tri druhy testov vychádza perióda T=665 opakujúcich sa hodnôt, ktoré nie su však identické, no rozdiel(diference) je maličký. Pre čoraz zložitejšie testovanie, teda pre úplne testovanie všetkých možných kombinácii je potrebný obrovský výkon PC, pretože perióda je až T=665, čo znamená, že musí byť až a=1000 (počet vrcholov fraktálu). Predpoklad však je ten, že aj pre fraktál so všetkými možnými kombináciami bude existovať uvedená, záhadná perióda T=665. Ten predpoklad vychádza práve z týchto 3 druhov testov. Čo presne sa testuje a ako je uvedené v zdrojových kódoch jednotlivých programov.

Referencie:

(1) link na publikáciu (google docs): odkaz

Introduction

This short article will be about the mysterious period that appeared in advanced tests of the Collatz hypothesis. This article directly follows the publication about the Collatz conjecture (1). Later, a detailed publication about this testing will be added. During testing, everyone will notice repeating patterns - fractals in the tests. Readers can download the source code of programs for testing (see below) and verify themselves.

---

Testing the Collatz Hypothesis

In brief, it involves testing derived relationships from publication (1), where programs also contain relationships for 3n+1, not just for 3n-1. The testing principle is to find such a sequence of consecutive numbers - a pattern, where the beginning and end of the sequence assume the same value.

Fig. 1 shows basic variables calculated in the program. For the basic fractal in publication (1) there exists a described analytical proof that besides the trivial solution, no other exists for delta=0. That is, the beginning and end never finish at the same level.

Basic Fractal Test

Download code from GitHub: basic_fractal_test_collatz.py

Fig. 2 Delta progression for basic fractal.

From the progression we see repeating sequences. The program outputs both delta values and differences between values shifted by period T=665.

---

Simple Collatz Test

Download code from GitHub: simple_test_collatz.py

Fig. 3 Delta progression for simple combinations.

From the progression we see repeating sequences. The program outputs both delta values and differences between values shifted by period T=665.

---

Advanced Collatz Test

Download code from GitHub: advanced_test_collatz.py

Fig. 4 Delta progression for more advanced combinations.

From the progression we see repeating sequences. The program outputs both delta values and differences between values shifted by period T=665.

---

Evaluation:

For all three types of tests, period T=665 of repeating values emerges, which are not identical but the difference is small. For increasingly complex testing, that is, for complete testing of all possible combinations, enormous PC power is needed because the period is T=665, meaning a=1000 (number of fractal vertices) is required. However, the assumption is that even for fractals with all possible combinations, the mentioned mysterious period T=665 will exist. This assumption comes from these 3 types of tests. What exactly is tested and how is described in the source codes of individual programs.

References:

(1) Link to publication (Google Docs): link