Eulerova veta a funkcia, Möbiova funkcia

Úvod

V tomto článku si zbežne preberieme Eulerovú vetu a funkciu, Möbiovu funkciu. Tento teoretický základ je potrebný popísať vzhľadom na vývoj (nových) poznatkov v súvislosti s redukovanou malou Fermatovou vetou (séria článkov na tomto blogu), dozaista aj v súvislosti s Riemanovou zeta funkciou. Predpokladám, že v budúcnosti sa všetky tieto súvislosti spoja do jedného celku (podporia sa). Začneme však postupne, v slede súvislosti týchto matematických konštrukcii.

Möbiova funkcia

Möbiova funkcia značená μ(n) je dôležitá multiplikatívna funkcia  z teórie čísiel. Nemecký matematik August Ferdinand Möbius ju zaviedol v roku 1832.

Screenshot - 3_ 9jpg



MoebiusMuPNG
Obr.1 Graf priebehu Möbiovej funkcie, zdroj: Wikipédia.


Pre zaujímavosť táto funkcia súvisí s Riemannovou hypotézou. Aplikáciou inverznej Möbiovej funkcie dostaneme Eulerovú funkciu. Detaily si čitateľ môže dohľada.

Eulerova funkcia

Eulerová funkcia φ(n) je významná funkcia v teórii čísiel sformulovaná geniálnym matematikom Eulerom.

Screenshot - 3_ 9 002jpg

Príklady:

Nájdete na tomto videu (aj na Eulerovú vetu): 
https://www.youtube.com/watch?v=VmnWqcB20ns

Eulerova veta

Je zovšeobecnením malej Fermatovej vety. Hovorí sa jej tiež Euler-Fermatová veta.

Def:

Screenshot - 3_ 9 003jpg
pričom φ(n) je Eulerova funkcia. Jej využitie je v modulárnej aritmetike.

Zovšobecnená Eulerova veta o algoritmus

Hypotéza: V zmysle článku (redukovaná malá Fermatová veta) je možné redukovať aj Eulerovú vetu algoritmom m(i), n(i) a znížením exponentu  φ(n).

Algoritmus funguje pre základ a=2, pre iné základy by bolo potrebné nájsť ďalšie súvislosti a algoritmy.

Algoritmus je v nasledujúcom článku.