---

Úvod

Predstavujeme Všeobecnú Metódu Rozkladu podľa Centra (MVDC), revolučnú asymptotickú matematickú techniku, ktorá umožňuje rýchle a presné odhady súčinov a súm prepísateľných do súčinovej formy. Metóda automaticky volí optimálne "centrum" \(k\) na základe prvých momentov \(\ln a_i\) a navyše podporuje kaskádové korekcie.

MVDC prekonáva klasické Bernoulliho-Stirlingove rozvoje pri:

• faktoriáli \(n!\),
• Wallisovom súčine,
• centrálnom binomickom koeficiente,
• nekonečných súčinoch špeciálnych funkcií,
• a mnohých ďalších matematických objektoch.

---

Teoretické pozadie

Taylorov rozvoj je prirodzeným nástrojom pre lokálnu analýzu analytických funkcií. Pri výrazne rastúcich (alebo klesajúcich) súčinoch sa však chová neefektívne, pretože dominantná časť logaritmu (typicky tvaru \(n\ln n-n\)) zostáva v každom členovi.

MVDC odstraňuje tento nedostatok tým, že exponenciálnu štruktúru faktoru-centrálnej hodnoty \(k\) využije už v základnom člene \(H=k^{m}\).

Optimalizácia centra ako minimalizácia momentov

Nech \(P=\prod_{i=1}^{m}a_i\) so \(a_i>0\). Označme \(\ell_i=\ln a_i\) a \(S_1=\sum_{i}\ell_i\), \(S_2=\sum_i(\ell_i-\mu_1)^2\).

Veta (Prvé dva momenty): Centrum \(k_*\), ktoré minimalizuje prvý logaritmický moment reziduálu \(R(k)=S_1-m\ln k\), je \(k_0=e^{\mu_1}\). Ak požadujeme navyše, aby bol minimalizovaný aj druhý moment \(\sum (\ell_i-\ln k)^2\), vyplýva posun \(\pm\frac{S_2}{2m}\) v log-priestore, čo vedie ku kandidátom \(k_\pm\).

Dôkaz: Podmienka \(\partial R/\partial (\ln k)=0\) dá \(S_1-m\ln k=0\). Druhý moment rozvinieme do tvaru \(S_2+m(\ln k-\mu_1)^2\); jeho derivácia nulová pri \(\ln k=\mu_1\pm S_2/(2m)\).

Odhad chyby hlavného člena

Veta: Ak \(k\) zvolíme podľa vyššie uvedeného pravidla, reziduál spĺňa \(|R(k)|\leq\frac{|S_3|}{6m k^3}\), kde \(S_3=\sum(\ell_i-\mu_1)^3\).

---

Algoritmus MVDC

Pseudokód

input : factors a[1..m], desired polynomial order p
logs  <- ln a_i
mu1   <- mean(logs)
sigma2<- variance(logs)
for sign in {0,+1,-1}:
    k[sign]   <- exp(mu1 + sign*sigma2/2)
    res[sign] <- | sum(logs) - m ln k[sign] |
best_sign <- argmin res
H       <- k[best_sign]^m
R       <- sum(logs) - m ln k[best_sign]
fit polynomial c_j such that  ln K ~ sum c_j/m^j
return  H, c_j
                    

Kaskádový algoritmus

Reziduál prvého stupňa definujme:

\[r_1(m) = \ln P - m\ln k - \sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j}\]

Ak je \(|r_1|=O(m^{-(p+1)})\), môžeme naň aplikovať druhú vrstvu kaskády:

\[r_1(m) \approx \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}, \qquad \hat{P} = H\,\exp\left(\sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j} + \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}\right)\]

Typicky postačí \(p=q=5\). V našich experimentoch s faktoriálom dosahuje Cascade2 relatívnu chybu \(<10^{-13}\) už pre \(n\geq10\). Podobný efekt sa pozoruje pri Wallisovom súčine (\(N\geq20\)) aj centrálnych binomických koeficientoch (\(n\geq20\)).

---

Numerické experimenty

Wallisov súčin

Tabuľka porovnáva presný súčin \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) s hlavným členom MVDC (označeným \(H\)), rozšíreniami \(H+3\) a klasickým asymptotickým rozvojom.

\(N\)	Presný súčin	MVDC \(H\)	\(H+3\)	Asympt.
1	1.333333333333e+00	1.333333333333e+00	1.333333333333e+00	1.384259868772e+00
10	1.533851903322e+00	1.533851903322e+00	1.533851903322e+00	1.551281545584e+00
100	1.566893745314e+00	1.566893745314e+00	1.566893745314e+00	1.568834056016e+00
1000	1.570403873015e+00	1.570403873015e+00	1.570403873015e+00	1.570599989523e+00

Ako vidíme, MVDC dosahuje perfektnú presnosť už s hlavným členom \(H\), zatiaľ čo klasické asymptotické metódy majú výrazné chyby.

Pomer gama funkcií

Pre \(\alpha=\frac{1}{2}\) a \(\beta=0\) porovnáme MVDC s klasickou Stirlingovou expanziou:

\[\frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n+\beta)} \simeq n^{\alpha-\beta}\left(1+\frac{A_1}{n}+\frac{A_2}{n^2}\right)\]

kde \(A_1=\frac{1}{4}(2\alpha-1)\) a \(A_2=\frac{1}{24}(2\alpha-1)(2\alpha^2-6\alpha+2)\).

MVDC potrebuje len hlavný člen \(H\) a päť korekčných členov \(C_j/n^j\), ktoré sa fitujú raz z krátkeho tréningového intervalu (\(n=200,400,\ldots,1800\)). Tabuľka ukazuje výrazný pokles chyby.

\(n\)	Presná hodnota	Stirling	MVDC \(H\)	MVDC \(H+5\)	rel. chyba \(H+5\)
20	4.444275e+00	4.472136e+00	2.507414e+00	4.450719e+00	\(1.45\times10^{-3}\)
50	7.053413e+00	7.071068e+00	3.979462e+00	7.053485e+00	\(1.03\times10^{-5}\)
500	2.235509e+01	2.236068e+01	1.261251e+01	2.235509e+01	\(4.63\times10^{-12}\)
1000	3.161882e+01	3.162278e+01	1.783901e+01	3.161882e+01	\(9.73\times10^{-13}\)

Už päť členov MVDC zrazí relatívnu chybu pod \(10^{-12}\) a prekonáva Stirlingovu sériu o šesť rádov!

---

Aplikácie

MVDC nachádza široké uplatnenie v:

1. Aproximácia gama-funkcie v komplexnej oblasti.
2. Rýchla evaluácia q-Pochhammerových symbolov v kombinatorike.
3. Predbežné hodnoty pre numerické riešenie transcendentných rovníc.

Rozsah aplikovateľnosti

Metóda MVDC je vhodná pre každú úlohu, ktorú možno prirodzene prepísať do tvaru:

\[P = \prod_{i=1}^{m} a_i, \qquad a_i>0\]

Najdôležitejšie triedy produktov:

• Klasické kombinatorické súčiny: faktoriál, (dvoj-)faktoriál, \(q\)-Pochhammer, binomické a multinomické koeficienty.
• Špeciálne funkcie s Eulerovým alebo Nekonečným súčinom: Wallisov, Vieta–Gaussov produkt, \(\Gamma\)-, \(q\)-\(\Gamma\)- a Barnesova \(G\)-funkcia.
• Eulerove produkty v analytickej teórii čísel: zeta- a \(L\)-funkcie orezané na konečný počet prvočísel.
• Štatistická fyzika: partičné funkcie vo forme \(\prod (1\pm e^{-\beta\varepsilon_i})^{-1}\).
• Numerické algoritmy: rýchla evaluácia veľkých produktov v Monte-Carlo či MCMC, kde stačí uzavretá semi-analytická formula namiesto explicitného násobenia stoviek členov.

Nevhodné prípady: čisto súčtové rady (napr. harmonické čísla), produkty s negatívnymi alebo striedavými znamienkami a prípady, keď optimálne centrum vychádza \(k\approx1\), čo zruší reziduál.

---

Implementácia

• Python knižnica mvdc_utils.py obsahuje funkciu mvdc_generic_center s automatickou voľbou \(k\).
• Funkcie factorial.py, wallis_mvdc.py, binom_mvdc.py demonštrujú použitie a porovnávajú sa s klasickými asymptotikami.

---

Porovnanie s Taylorovým rozvojom

Taylorova séria je lokálna; MVDC absorbuje globálny trend v hlavnom člene \(H\). Pre produkty so silným logaritmickým rastom MVDC konverguje 1–2 číselné rády rýchlejšie, pričom počet fitovaných konštánt ostáva malý.

---

Definícia metódy

Majme kladné faktory \(\{a_i\}_{i=1}^m\) a označme \(\ell_i = \ln a_i\).

Definícia (MVDC centrum \(k\)): Nech \(\mu_1 = \frac{1}{m}\sum\ell_i\) a \(\sigma^2 = \frac{1}{m}\sum(\ell_i-\mu_1)^2\). Uvažujme tri kandidátske centrá:

\[k_0 = e^{\mu_1}, \qquad k_\pm = e^{\mu_1\pm\sigma^2/2}\]

Zvolíme to \(k\in\{k_0,k_+,k_-\}\), pre ktoré je absolútna hodnota reziduálneho prvého momentu \(|R(k)| = \left|\sum \ell_i - m\ln k\right|\) minimálna; pri rovnosti rozhodne najmenšia absolútna tercia momentu (skewness).

Definícia (Hlavný člen a reziduál):

\[H = k^{m}, \qquad R = \sum_{i=1}^{m}\ell_i - m\ln k\]

Polynomiálne a kaskádové korekcie

Reziduál \(R\) je \(O(1)\); rozvinieme ho ako polynóm v \(1/m\):

\[\ln K(m) = \sum_{j=1}^{p}\frac{c_j}{m^j}+O\left(\frac{1}{m^{p+1}}\right)\]

Parametre \(c_j\) získame lineárnou regresiou na skupine \(m\in[m_\text{min},m_\text{max}]\). Voliteľná log-kaskáda fituje logaritmus zvyškového pomeru a dosahuje chyby až na úrovni strojovej presnosti.

---

Príklady

Faktoriál

Pre \(n!\) dostaneme \(k_+=\frac{n}{e}(2\pi n)^{1/(2n)}\), takže:

\[H=(n/e)^n\sqrt{2\pi n}, \quad R=\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\ldots\]

čo reprodukuje Stirlingov rad.

Wallisov súčin

Pre \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) vyjde \(k_0=1\), reziduál začína \(-\frac{1}{8N}\) a kaskáda znižuje chybu z \(10^{-5}\) na \(10^{-9}\) už pri \(N=10\).

Centrálny binomický koeficient

Produktové vyjadrenie \(\binom{2n}{n}=\prod_{i=1}^n\frac{n+i}{i}\) vedie na \(k_-\) a hlavný člen \(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\) s reziduálom \(\frac{1}{8n}+\ldots\).

---

Diskusia a budúci vývoj

Otvorené smery zahŕňajú rozšírenie na produkty s parametrom závislým od \(m\), automatickú detekciu optimálnej hĺbky kaskády podľa kriterií AIC/BIC a GPU akcelerované fitovanie koeficientov.

Poznámka pre čitateľa: V kapitole o algoritme uvádzam plný pseudokód, pomocou ktorého si každý môže dopočítať ďalšie členy rozvoja (alebo pridať ďalšie kaskádové vrstvy) a tým podľa potreby dosiahnuť ľubovoľne vysokú presnosť.

---

Záver

Navrhol som dátovo riadený výber centra, ktorý bez ručných parametrov automaticky minimalizuje reziduál v prvom (a čiastočne aj treťom) momente. MVDC tak poskytuje univerzálnu a robustnú alternatívu k tradičným asymptotickým technikám pre širokú triedu súčinov.

Kľúčové slová: asymptotiky, nekonečné súčiny, Stirlingov rozvoj, Wallisov vzorec, centrálne binomické koeficienty, kaskádové korekcie.