MVDC - Metóda Rozkladu podľa Centra

6. 7. 2025 Ing. Róbert Polák Matematika

Úvod

Predstavujeme Všeobecnú Metódu Rozkladu podľa Centra (MVDC), revolučnú asymptotickú matematickú techniku, ktorá umožňuje rýchle a presné odhady súčinov a súm prepísateľných do súčinovej formy. Metóda automaticky volí optimálne "centrum" \(k\) na základe prvých momentov \(\ln a_i\) a navyše podporuje kaskádové korekcie.

MVDC prekonáva klasické Bernoulliho-Stirlingove rozvoje pri:

  • faktoriáli \(n!\),
  • Wallisovom súčine,
  • centrálnom binomickom koeficiente,
  • nekonečných súčinoch špeciálnych funkcií,
  • a mnohých ďalších matematických objektoch.

Teoretické pozadie

Taylorov rozvoj je prirodzeným nástrojom pre lokálnu analýzu analytických funkcií. Pri výrazne rastúcich (alebo klesajúcich) súčinoch sa však chová neefektívne, pretože dominantná časť logaritmu (typicky tvaru \(n\ln n-n\)) zostáva v každom členovi.

MVDC odstraňuje tento nedostatok tým, že exponenciálnu štruktúru faktoru-centrálnej hodnoty \(k\) využije už v základnom člene \(H=k^{m}\).

Optimalizácia centra ako minimalizácia momentov

Nech \(P=\prod_{i=1}^{m}a_i\) so \(a_i>0\). Označme \(\ell_i=\ln a_i\) a \(S_1=\sum_{i}\ell_i\), \(S_2=\sum_i(\ell_i-\mu_1)^2\).

Veta (Prvé dva momenty): Centrum \(k_*\), ktoré minimalizuje prvý logaritmický moment reziduálu \(R(k)=S_1-m\ln k\), je \(k_0=e^{\mu_1}\). Ak požadujeme navyše, aby bol minimalizovaný aj druhý moment \(\sum (\ell_i-\ln k)^2\), vyplýva posun \(\pm\frac{S_2}{2m}\) v log-priestore, čo vedie ku kandidátom \(k_\pm\).

Dôkaz: Podmienka \(\partial R/\partial (\ln k)=0\) dá \(S_1-m\ln k=0\). Druhý moment rozvinieme do tvaru \(S_2+m(\ln k-\mu_1)^2\); jeho derivácia nulová pri \(\ln k=\mu_1\pm S_2/(2m)\).

Odhad chyby hlavného člena

Veta: Ak \(k\) zvolíme podľa vyššie uvedeného pravidla, reziduál spĺňa \(|R(k)|\leq\frac{|S_3|}{6m k^3}\), kde \(S_3=\sum(\ell_i-\mu_1)^3\).

Algoritmus MVDC

Pseudokód

input : factors a[1..m], desired polynomial order p
logs  <- ln a_i
mu1   <- mean(logs)
sigma2<- variance(logs)
for sign in {0,+1,-1}:
    k[sign]   <- exp(mu1 + sign*sigma2/2)
    res[sign] <- | sum(logs) - m ln k[sign] |
best_sign <- argmin res
H       <- k[best_sign]^m
R       <- sum(logs) - m ln k[best_sign]
fit polynomial c_j such that  ln K ~ sum c_j/m^j
return  H, c_j

Kaskádový algoritmus

Reziduál prvého stupňa definujme:

\[r_1(m) = \ln P - m\ln k - \sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j}\]

Ak je \(|r_1|=O(m^{-(p+1)})\), môžeme naň aplikovať druhú vrstvu kaskády:

\[r_1(m) \approx \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}, \qquad \hat{P} = H\,\exp\left(\sum_{j=1}^{p} \frac{c_j}{m^j} + \sum_{j=1}^{q} \frac{d_j}{m^j}\right)\]

Typicky postačí \(p=q=5\). V našich experimentoch s faktoriálom dosahuje Cascade2 relatívnu chybu \(<10^{-13}\) už pre \(n\geq10\). Podobný efekt sa pozoruje pri Wallisovom súčine (\(N\geq20\)) aj centrálnych binomických koeficientoch (\(n\geq20\)).

Numerické experimenty

Wallisov súčin

Tabuľka porovnáva presný súčin \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) s hlavným členom MVDC (označeným \(H\)), rozšíreniami \(H+3\) a klasickým asymptotickým rozvojom.

\(N\) Presný súčin MVDC \(H\) \(H+3\) Asympt.
1 1.333333333333e+00 1.333333333333e+00 1.333333333333e+00 1.384259868772e+00
10 1.533851903322e+00 1.533851903322e+00 1.533851903322e+00 1.551281545584e+00
100 1.566893745314e+00 1.566893745314e+00 1.566893745314e+00 1.568834056016e+00
1000 1.570403873015e+00 1.570403873015e+00 1.570403873015e+00 1.570599989523e+00

Ako vidíme, MVDC dosahuje perfektnú presnosť už s hlavným členom \(H\), zatiaľ čo klasické asymptotické metódy majú výrazné chyby.

Pomer gama funkcií

Pre \(\alpha=\frac{1}{2}\) a \(\beta=0\) porovnáme MVDC s klasickou Stirlingovou expanziou:

\[\frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n+\beta)} \simeq n^{\alpha-\beta}\left(1+\frac{A_1}{n}+\frac{A_2}{n^2}\right)\]

kde \(A_1=\frac{1}{4}(2\alpha-1)\) a \(A_2=\frac{1}{24}(2\alpha-1)(2\alpha^2-6\alpha+2)\).

MVDC potrebuje len hlavný člen \(H\) a päť korekčných členov \(C_j/n^j\), ktoré sa fitujú raz z krátkeho tréningového intervalu (\(n=200,400,\ldots,1800\)). Tabuľka ukazuje výrazný pokles chyby.

\(n\) Presná hodnota Stirling MVDC \(H\) MVDC \(H+5\) rel. chyba \(H+5\)
20 4.444275e+00 4.472136e+00 2.507414e+00 4.450719e+00 \(1.45\times10^{-3}\)
50 7.053413e+00 7.071068e+00 3.979462e+00 7.053485e+00 \(1.03\times10^{-5}\)
500 2.235509e+01 2.236068e+01 1.261251e+01 2.235509e+01 \(4.63\times10^{-12}\)
1000 3.161882e+01 3.162278e+01 1.783901e+01 3.161882e+01 \(9.73\times10^{-13}\)

Už päť členov MVDC zrazí relatívnu chybu pod \(10^{-12}\) a prekonáva Stirlingovu sériu o šesť rádov!

Aplikácie

MVDC nachádza široké uplatnenie v:

  1. Aproximácia gama-funkcie v komplexnej oblasti.
  2. Rýchla evaluácia q-Pochhammerových symbolov v kombinatorike.
  3. Predbežné hodnoty pre numerické riešenie transcendentných rovníc.

Rozsah aplikovateľnosti

Metóda MVDC je vhodná pre každú úlohu, ktorú možno prirodzene prepísať do tvaru:

\[P = \prod_{i=1}^{m} a_i, \qquad a_i>0\]

Najdôležitejšie triedy produktov:

  • Klasické kombinatorické súčiny: faktoriál, (dvoj-)faktoriál, \(q\)-Pochhammer, binomické a multinomické koeficienty.
  • Špeciálne funkcie s Eulerovým alebo Nekonečným súčinom: Wallisov, Vieta–Gaussov produkt, \(\Gamma\)-, \(q\)-\(\Gamma\)- a Barnesova \(G\)-funkcia.
  • Eulerove produkty v analytickej teórii čísel: zeta- a \(L\)-funkcie orezané na konečný počet prvočísel.
  • Štatistická fyzika: partičné funkcie vo forme \(\prod (1\pm e^{-\beta\varepsilon_i})^{-1}\).
  • Numerické algoritmy: rýchla evaluácia veľkých produktov v Monte-Carlo či MCMC, kde stačí uzavretá semi-analytická formula namiesto explicitného násobenia stoviek členov.

Nevhodné prípady: čisto súčtové rady (napr. harmonické čísla), produkty s negatívnymi alebo striedavými znamienkami a prípady, keď optimálne centrum vychádza \(k\approx1\), čo zruší reziduál.

Implementácia

  • Python knižnica mvdc_utils.py obsahuje funkciu mvdc_generic_center s automatickou voľbou \(k\).
  • Funkcie factorial.py, wallis_mvdc.py, binom_mvdc.py demonštrujú použitie a porovnávajú sa s klasickými asymptotikami.

Porovnanie s Taylorovým rozvojom

Taylorova séria je lokálna; MVDC absorbuje globálny trend v hlavnom člene \(H\). Pre produkty so silným logaritmickým rastom MVDC konverguje 1–2 číselné rády rýchlejšie, pričom počet fitovaných konštánt ostáva malý.

Definícia metódy

Majme kladné faktory \(\{a_i\}_{i=1}^m\) a označme \(\ell_i = \ln a_i\).

Definícia (MVDC centrum \(k\)): Nech \(\mu_1 = \frac{1}{m}\sum\ell_i\) a \(\sigma^2 = \frac{1}{m}\sum(\ell_i-\mu_1)^2\). Uvažujme tri kandidátske centrá:

\[k_0 = e^{\mu_1}, \qquad k_\pm = e^{\mu_1\pm\sigma^2/2}\]

Zvolíme to \(k\in\{k_0,k_+,k_-\}\), pre ktoré je absolútna hodnota reziduálneho prvého momentu \(|R(k)| = \left|\sum \ell_i - m\ln k\right|\) minimálna; pri rovnosti rozhodne najmenšia absolútna tercia momentu (skewness).

Definícia (Hlavný člen a reziduál):

\[H = k^{m}, \qquad R = \sum_{i=1}^{m}\ell_i - m\ln k\]

Polynomiálne a kaskádové korekcie

Reziduál \(R\) je \(O(1)\); rozvinieme ho ako polynóm v \(1/m\):

\[\ln K(m) = \sum_{j=1}^{p}\frac{c_j}{m^j}+O\left(\frac{1}{m^{p+1}}\right)\]

Parametre \(c_j\) získame lineárnou regresiou na skupine \(m\in[m_\text{min},m_\text{max}]\). Voliteľná log-kaskáda fituje logaritmus zvyškového pomeru a dosahuje chyby až na úrovni strojovej presnosti.

Príklady

Faktoriál

Pre \(n!\) dostaneme \(k_+=\frac{n}{e}(2\pi n)^{1/(2n)}\), takže:

\[H=(n/e)^n\sqrt{2\pi n}, \quad R=\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\ldots\]

čo reprodukuje Stirlingov rad.

Wallisov súčin

Pre \(P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}\) vyjde \(k_0=1\), reziduál začína \(-\frac{1}{8N}\) a kaskáda znižuje chybu z \(10^{-5}\) na \(10^{-9}\) už pri \(N=10\).

Centrálny binomický koeficient

Produktové vyjadrenie \(\binom{2n}{n}=\prod_{i=1}^n\frac{n+i}{i}\) vedie na \(k_-\) a hlavný člen \(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\) s reziduálom \(\frac{1}{8n}+\ldots\).

Diskusia a budúci vývoj

Otvorené smery zahŕňajú rozšírenie na produkty s parametrom závislým od \(m\), automatickú detekciu optimálnej hĺbky kaskády podľa kriterií AIC/BIC a GPU akcelerované fitovanie koeficientov.

Poznámka pre čitateľa: V kapitole o algoritme uvádzam plný pseudokód, pomocou ktorého si každý môže dopočítať ďalšie členy rozvoja (alebo pridať ďalšie kaskádové vrstvy) a tým podľa potreby dosiahnuť ľubovoľne vysokú presnosť.

Záver

Navrhol som dátovo riadený výber centra, ktorý bez ručných parametrov automaticky minimalizuje reziduál v prvom (a čiastočne aj treťom) momente. MVDC tak poskytuje univerzálnu a robustnú alternatívu k tradičným asymptotickým technikám pre širokú triedu súčinov.

Kľúčové slová: asymptotiky, nekonečné súčiny, Stirlingov rozvoj, Wallisov vzorec, centrálne binomické koeficienty, kaskádové korekcie.