MVDC: opravený rozklad podľa centra

MVDC: Corrected Centre Decomposition

6. 7. 2025 Ing. Róbert Polák

Aktualizované 19. 10. 2026 podľa opravených publikácií.

Updated on 19 October 2026 to reflect the revised publications.

Pôvodný článok z roku 2025 opisoval metódu a porovnania príliš všeobecne. Toto znenie vysvetľuje opravený rámec z augusta 2026 a odlišuje jednotlivé matematické konštrukcie.

The original 2025 article described the method and its comparisons too broadly. This version explains the revised August 2026 framework and distinguishes the mathematical constructions.

Čo je presná identita

The exact identity

Pre kladné faktory zvoľme ľubovoľné reálne centrum \(c\), položme \(k=e^c\) a oddeľme hlavný člen od rezídua.

For positive factors, choose any real centre \(c\), set \(k=e^c\), and separate the main term from its residual.

P_n=\prod_{i=1}^{n}a_i,\qquad H_c=e^{nc},\qquad R_c(n)=\sum_{i=1}^{n}(\log a_i-c),\qquad P_n=H_c e^{R_c(n)}.

Ak \(c=\mu_{\log}=n^{-1}\sum_i\log a_i\), potom \(R_c=0\) a \(H_c=P_n\). Ide o presné vyhodnotenie súčinu v logaritmickej oblasti. Pri netriviálnej aproximácii sa centrum určí nezávisle od presného súčinu, napríklad z integrálu alebo známeho hlavného asymptotického člena.

If \(c=\mu_{\log}=n^{-1}\sum_i\log a_i\), then \(R_c=0\) and \(H_c=P_n\). This evaluates the product exactly in the logarithmic domain. A nontrivial approximation specifies the centre independently of the exact product, for example through an integral or a known leading asymptotic term.

\sum_i(\log a_i-c)^2=\sum_i(\log a_i-\mu_{\log})^2+n(c-\mu_{\log})^2.

Tento druhý moment má jediné minimum pri \(c=\mu_{\log}\). Posuny o polovicu rozptylu z minimalizácie nevyplývajú. Staršie tvrdenie o optimálnych posunutých centrách sa preto nepoužíva ako dôkazový krok.

This second moment has its unique minimum at \(c=\mu_{\log}\). Shifts by half the variance do not follow from its minimization. The earlier optimal-shift claim is therefore not used as a proof step.

Kedy platí momentový rozvoj

When the moment expansion applies

Pre \(a_i=k(1+x_i)\) a \(\rho=\max_i|x_i|<1\) platí konvergentný rozvoj podľa odchýlok faktorov:

For \(a_i=k(1+x_i)\) and \(\rho=\max_i|x_i|<1\), factor deviations give the convergent expansion:

\log\frac{P_n}{k^n}=\sum_{r=1}^{\infty}\frac{(-1)^{r-1}}{r}X_r(k),\qquad X_r(k)=\sum_i x_i^r.

|\mathcal R_M|\le\sum_i\frac{|x_i|^{M+1}}{(M+1)(1-|x_i|)}.

Aritmetický priemer faktorov ruší \(X_1\), ak zvolená rodina zároveň spĺňa podmienku konvergencie. Momenty logaritmov nemožno v tomto rozvoji zamieňať za momenty odchýlok faktorov.

The arithmetic mean of the factors cancels \(X_1\), provided the chosen family also meets the convergence condition. Moments of logarithms cannot replace moments of factor deviations in this expansion.

Úloha Bernoulliho koeficientov

The role of Bernoulli coefficients

Opravená práca definuje konečné C-Bernoulliho koeficienty pomocou centrovaných indexov \(m_n=(n+1)/2\):

The corrected paper defines finite C-Bernoulli coefficients using centred indices \(m_n=(n+1)/2\):

C_r(n)=\frac1{r!}\sum_{i=1}^{n}(i-m_n)^r,\qquad \sum_{r=0}^{\infty}C_r(n)t^r=\frac{\sinh(nt/2)}{\sinh(t/2)}.

Nepárne koeficienty sú nulové. Pri hladkej interpolácii \(f(i)=\log a_i\) vstupujú tieto koeficienty do Taylorovho rozvoja okolo stredu cez derivácie \(f\). Súvis s Bernoulliho a Nörlundovými polynómami je uvedený v práci; ide o inú konštrukciu než momenty konkrétnych logaritmických dát.

Odd coefficients vanish. For a smooth interpolation \(f(i)=\log a_i\), these coefficients enter a midpoint Taylor expansion through derivatives of \(f\). The paper gives their relation to Bernoulli and Nörlund polynomials; they are distinct from moments of the particular logarithmic data.

Faktoriál a presnosť

Factorial and accuracy

H_n=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n,\qquad \log\frac{n!}{H_n}=\frac1{12n}-\frac1{360n^3}+\frac1{1260n^5}-\frac1{1680n^7}+O(n^{-9}).

Pre toto analytické centrum je výsledný vzorec totožný s klasickým logaritmickým Stirlingovým rozvojom. Opravená práca uvádza napríklad relatívnu chybu približne \(8{,}23\times10^{-13}\) pri \(n=10\) po člene \(n^{-7}\). Tento výsledok sa vzťahuje na konkrétny vzorec a počet členov.

For this analytic centre, the resulting formula is identical to the classical log-Stirling expansion. The corrected paper reports, for example, a relative error of about \(8.23\times10^{-13}\) at \(n=10\) after the \(n^{-7}\) term. This result applies to that specific formula and truncation order.

Staršie porovnanie Gamma pomerov používalo nesprávne Stirlingove korekcie. Nepodporuje preto všeobecné tvrdenie o náskoku MVDC o šesť rádov. Nové porovnanie musí uviesť správny referenčný vzorec, rovnaký rozsah presnosti, cenu výpočtu a oddelené dáta pre prípadné fitovanie.

The earlier Gamma-ratio comparison used incorrect Stirling corrections. It therefore does not support a general six-order precision advantage for MVDC. A new comparison must specify the correct reference formula, matched precision, computational cost, and separate data for any fitting.

Eulerove súčiny

Euler products

Pre \(\zeta_N(s)=\prod_{p\le N}(1-p^{-s})^{-1}\), \(\sigma=\Re s>1\) a celé \(M>N\ge2\) rozdeľme chvost na presný konečný blok a zvyšok:

For \(\zeta_N(s)=\prod_{p\le N}(1-p^{-s})^{-1}\), \(\sigma=\Re s>1\), and integers \(M>N\ge2\), split the tail into an exact finite block and a remainder:

\log\frac{\zeta(s)}{\zeta_N(s)}=\sum_{N<p\le M}-\log(1-p^{-s})+R_M(s),\qquad |R_M(s)|\le\frac{M^{1-\sigma}}{(\sigma-1)(1-2^{-\sigma})}.

Integrál s hustotou prvočísel môže zvyšok numericky aproximovať. Publikovaná chyba konkrétnych príkladov pochádza z presne spočítaného bloku a tohto modelu chvosta; rigorózny odhad zvyšku je samostatné tvrdenie.

An integral using prime density can model the remaining tail numerically. The reported errors for specific examples come from the exactly evaluated block and this tail model; the rigorous remainder bound is a separate statement.