Úvod

V úvodnej časti o Riemannovej hypotéze (Prvočísla, Riemannova hypotéza diel. 2.) bola popísaná samotná hypotéza v teoretickej rovine. Riemannova Zeta funkcia prepája rozloženie prvočísiel s analytickou funkciou v komplexnej rovine. Riemannova hypotéza doposiaľ nie je dokázaná, pričom mnohé matematické konštrukty nadväzujú na túto hypotézu. Aj z tohto dôvodu v roku 2000 Clayov matematický inštitút dal Riemannovú hypotézu do najdôležitejších, nevyriešených úloh, problémov. Miléniových problémov je sedem (napr. Navier – Stokesova rovnica a jej riešenie).

Základné vzťahy s prepojením na Zeta funkciu (analyticky predĺženú do komplexnej roviny): 

Riemannova funkcia (1859):

Riemannová hypotéza:

Pokiaľ Riemannová hypotéza platí, potom je možné priebeh prvočísiel v celkovom počte nahradiť uvedenou funkciou, viď. Obr.1.

Obr.1 - Preložená Riemannova funkcia aproximuje presne π(x) v nekonečnom rade.

The Riemann Hypothesis Says 5040 is the Last 

Existuje veľa ekvivalentných spôsobov ako Riemannovú hypotézu formulovať. Zameriam sa na tento výklad. (zdroj: výkladu).

Zoberme si ľubovoľné kladné, celé  číslo N, napr. N=12. Teraz si zoberme všetkých deliteľov tohto čísla bezo zvyšku postupne a sčítajme výsledok:

V roku 1984 Gay Robin ukázal, že Riemannova hypotéza je ekvivalentná tvrdeniu, že pre každé číslo N>5040 platí:

Pričom  je Eulerova-Mascheroniho konštanta daná vzťahom:

Príklad:

Napr. číslo N=5040:

Priebeh jednotlivých čísiel >10 je na obr.2.

Obr. 2 Gay Robin index, zdroj: golem.ph.utexas.edu

Napr. niektoré blízke vrcholy sú:

(7560,  1.739917)

(10080,  1.755814)

(55440, 1.751247)

(110880,  1.734849)

(720720, 1.733065)

Výpočet sigma

Autor: Robopol

Pre využitie efektívneho algoritmu, pre výpočet tohto indexu potrebujeme vytvoriť vzťah sigma (N). Každé zložené číslo sa dá rozložiť na súčin prvočísiel. Tu sa jedná hlavne o prípady, kedy máme číslo N zadané v rozklade na prvočísla.

Najjednoduchší prípad je:

potom platí:

zložitejší prípad:

Tu si môžete všimnúť , že vzniká kombinačná metóda so vzorčekmi, ktorá je podstatne efektívnejšia ako rátať sigmu tak, že budeme deliť všetky čísla od 1 po N, pokiaľ máme číslo rozložené na súčin prvočísiel. Poďme na zložitejšie prípady.

V súčine sa môžu objaviť mocniny pre iné základy:

Postupne sa dostávame k univerzálnemu vzťahu pre výpočet sigma, ešte predtým urobíme jeden zložitejší príklad pre N=5040. Tu zistíme, že robíme kombinácie, každého člena s každým:

Najjednoduchší kandidát rozkladu

V tejto stati sa pozrieme na najjednoduchších kandidátov prvočíselneho rozkladu. Potrebujeme identifikovať vlastnosti od ktorých to závisí. Znova ten najjednoduchší prípad je:

Pre tento rozklad platí:

Priebeh tejto funkcie pre N=2^k je:

Táto funkcia indexu je klesajúca. O klesajúci charakter funkcie sa postaral člen menovateľa, viď. obr. 4. Funkcia je v princípe klesajúca nie len pre rozklad 2^k, ale pre ľubovoľný rozklad.

Limita tejto funkcie  je:

Všeobecne je klesajúci faktor v menovateli veľmi strmý, viď. obr.3.

Obr.4 Priebeh všeobecnej funkcie 1/(N ln (ln N))

Záver:

Na záver sa dá povedať o tomto rozklade toľko, že hodnota indexu limitne speje k nule, no táto vlastnosť bude všeobecne platiť pre ľubovoľný rozklad, čo bude zrejme neskôr.

Najvhodnejší kandidáti rozkladu

Intuitívne by sme mohli vytvoriť hypotézu, že ak preveríme dostatočne dlhú vzorku čísiel obr.2 a 3, potom v zmysle klesajúceho faktora (menovateľ rovnice) nie je možné, aby Gay Robin index prekročil kritickú hranicu. No v matematike je potrebné vykonať korektný dôkaz.

Najvhodnejší kandidáti budú mať špecifický rozklad. Tento rozklad plynie z výpočtu sigmy (viď. vyššie), kde budú prevládať rozklady pozostávajúce z viacerých prvočísiel (a ich mocnín). Výpočet sigmy priamo závisí od všetkých súčinov (všetky kombinácie) prvočíselneho rozkladu, čo umožňuje vysokú hodnotu sigmy.

Úlohou je teda maximalizácia sigmy. Máme nájsť také rozklady, ktoré povedú na najvyššie hodnoty Gay Robin indexu.

Príklady:

Na stránke ( zdroj ) nájdete aj príklad vysokého čísla N=1.978330464193 * 10^104, index=1.777, ďalší zaujímavý kandidát:

N=8201519488959040182625924708238885435575055666675808000, index=1.757

Z rozkladu čísiel je vidieť, že mocniny prvočísiel sú odstupňované a klesajú dole. Nie je zastúpený len najväčší počet prvočísiel v súčine, ale vždy sú pritomné mocniny dvojky, trojky atď..

Znázornime si situáciu pre niektoré jednoduché rozklady graficky:

Obr. 5 Vzory rozkladov, zdroj: vlastný obrázok.

Na obrázku sú niektoré jednoduché prípady rozkladov, pripomínajú čiarové kódy. Ak jednotlivé zastúpenie podielov urobíme graficky dostaneme charakteristický vzor/ pattern. Na obrázku sú tri dôležité paterny pre najvhodnejšieho kandidáta, pre najjednoduchšieho kandidáta a pre rozklad súčinov prvočísiel (postupne za sebou).

Určite si pozorný čitateľ všimne, že najlepšie je na tom prvý vzor, pretože má zastúpenie deliteľov vľavo od polovice. To znamená aj najväčšie prírastky do sigmy. Má aj najväčší počet deliteľov spolu s posledným vzorom (pre súčin prvočísiel za sebou).

Tvrdenie:

Ideálny kandidát sigma (n) potrebuje mať, čo najväčší počet deliteľov a musí obsadzovať, čo najhustejšie ľavú polovicu vzoru, obr.5.

Formálne sa to dá zapísať takto:

Pre zaujímavosť sa pozrime ako vyzerá priebeh mocnín rozkladu pre uvedené vysoké čísla:

N1=8201519488959040182625924708238885435575055666675808000, index=1.757, viď rozklad vyššie.

N2=N=1.978330464193 * 10^104, index=1.777, viď rozklad (zdroj vyššie)

Na obr. 6 je priebeh jednotlivých mocnín. Prvá hodnota mocniny (základ 2) je 100%, nasledujúce pre 3,5,7... vidno na priebehu v grafe.  Pokiaľ niekto numericky otestoval, že toto sú najvhodnejší kandidáti, potom tento vzor priebehu mocnín je možné aplikovať na ešte väčšie čísla. Z obrázka je veľká podobnosť v charakteristickom priebehu, pre tieto dve trocha inak nakombinované čísla (súčin prvočísiel a ich mocnín) N1, N2.

Obr.6 Priebeh mocnín rozkladu, zdroj: vlastný obrázok.