Prvocisla a Pytagorejska trojica – 1. diel

Úvod

Tento článok je úvodným článkom, kde by som sa chcel povenovať prvočíslam a Pytagor.  trojiciam. Článok ukáže nový generátor Pyt. trojíc, ktorý vzišiel pri debate s p. Miroslavom Židekom. Podľa možnosti, chuti, času sa sústredím na niektoré aspekty aj v budúcnosti (prvočísla, Riemannova hypotéza).

Prvočísla

Rozloženie prvočísiel na číselnej osi je predmetom matematickej miléniovej otázky nazývanej v trocha odlišnej podobe Riemannova hypotéza. Tieto miléniové problémy zverejnil Clayov matematický inštitút. Za vyriešenie týchto problémov ponúka 1 mil. dolárov.

Riemannova hypotéza sa týka otázky, či korene zeta funkcie ležia na jednej konkrétnej priamke (pre určitý, ohraničený interval), bližšie v tomto peknom videu:

https://www.youtube.com/embed/tHm7MnPkBiI?feature=oembed

Doposiaľ ani najvýkonnejšie počítače neobjavili tieto korene mimo tejto priamky. To znamená, že prvočísla, rozloženie prvočísiel sa zrejme dajú opísať nejakým uchopiteľným spôsobom. To je v podstate ľudovo preložená Riemannova hypotéza.

Pán Židek sa venuje číslam a prvočíslam pomerne dlho. Články nájdete na blog.sme.sk zadaním mena blogera.  Vytvoril tzv. vytváraciu tabuľku prvočísiel, kde popisuje vlastný postup ako hľadať prvočísla z nejakého intervalu čísiel. Podľa neho sa prvočísla vytvárajú smerom zdola nahor.

To je v podstate pravda, lebo pri faktorizácii (teda ako hľadáme prvočísla dnes) sa nasledujúce prvočísla musia zrkadliť s predchádzajúcimi, lebo nasledujúce prvočísla nemôžu byť celočíselným násobkom prvočísiel predchádzajúcich.

Ja osobne teda nevidím v tom nejaký nový prínos. Toto tvrdenie je vlastne triviálne tvrdenie, že prvočísla nie sú chaoticky nahádzané na číselnej osi.

No pri jednej z debát sa objavili náznaky nového generátora Pyt. trojíc. No najskôr, čo to teda je.

Pytagorejská trojica

Pytagorejská trojica je taká trojica prirodzených čísiel ( a, b, c) , že platí Pytagorova veta.

Bližšie napr. na wiki - odkaz

  • 3; 4; 5
  • 5; 12; 13
  • 7; 24; 25
  • 9; 40; 41
  • 8; 15; 17

Nový generátor

Popis generátora:


Majme generátor pyt. trojíc (A, B, C), pričom máme premenné: i, j, k=1,2,3,4....n

nech platí i+j=k

potom trojica čísiel (i, j, k) generuje pyt. trojicu (A, B,C) za platnosti týchto vzťahov:

A= i^2+2.i.j
B=2(j^2+i.j)
C=i^2+2.j^2+2.i.j


Príklad:

majme (i, j, k) rovne trojici (1,1,2) potom
A=1^2+2.1.1=3
B=2*(1^2+1.1)=4
C=1^2+2.1^2+2.1.1=5

Výsledná pyt. trojica je (3,4,5).


Dôkaz (čiastkový):
Čísla i, j, k sú vždy celé čísla. Zo vzťahov pre A, B, C platí, že aj tieto čísla sú vždy celé čísla. Dôkaz, že je to tak je triviálny a plynie z tvaru funkcie pre A, B, C.

Vzťahy pre A, B, C platí Pytagorová veta, sú tak skonštruované. Teda nie je možné dostať porušenie Pytagorovej vety.

K úplnosti generátora:
otázka znie, či generuje všetky Pytag. trojice? Na toto nemám úplný dôkaz. No pri previerke pár čísiel sa zdá, že to generuje všetky známe trojice. Dôležité je vytvoriť všetky variácie (i, j, k).
Napr.
(1,1,2) (1,2,3) (2,1,3) (2,2,4) (1,3,4) (3,1,4) .....atď pre i=1, j=1 až n.

Zdá sa, že ak ideme postupne a nevynecháme žiadnu variáciu (i, j, k) nachádzame všetky známe trojice (iné generátory).  Z toho teda plynie, že aj pre väčšie čísla to bude platiť, pretože i, j, k narastajú i+1, j+1. Ideme teda postupne. To samozrejme nie je úplne, korektný dôkaz. No pre praktické účely to postačuje.