Úvod
Tento diel je voľným pokračovaním na predchádzajúce diely o prvočíslach
a Riemannovej hypotéze. Dozvedeli sme sa, že prvočísla na číselnej osi nie
sú rozhádzané chaoticky, ale je v tom istý vnútorný poriadok, systém.
Riemannova funkcia úzko súvisí s rozložením prvočísiel, viď. článok Prvočísla
– 2.diel.
Srínivása Ajjangár Rámánudžan
Obr.1 Rámánudžan 1887-1920, zdroj: internet.
Bol indický matematik, široko uznávaný ako jeden z najbrilantnejších v nedávnej histórii. Prakticky bez akéhokoľvek formálneho vzdelania v matematike prispel podstatne k oblastiam analýzy, teórie čísel a nekonečných radov.
Bol natočený aj skvelý film o ňom:
Muž, ktorý poznal nekonečno.. (2015)
https://www.youtube.com/watch?time_continue=41&v=oXGm9Vlfx4w&feature=emb_logo
Celý film nájdete napr. na: freefilm.to (odporúčam pozrieť.)
Zrejme veľa čitateľov netuší, že Rámánudžan našiel istú veľmi zaujímavú vec súvisiacu s veľmi podobnou funkciou ako je Zeta funkcia.
Pripomeňme si však najskôr Eulerov vzťah (1737)
Na ľavej strane je Riemannova Zeta funkcia v nekonečnom rade, na pravej strane násobíme všetky prvočísla cez (symbol domčeka). Tu je vidieť priame prepojenie Zeta funkcie na prvočísla.
Urobme si praktický zápis, aby to bolo zrozumiteľne aj pre tých, ktorí nemajú znalosti zápisov v matematike, ako je napr. zápis nekonečných radov.
Kde s>1
Poďme sa pozrieť na podobné funkcie ako je zeta funkcia, nazvime ju L(s) funkcia. Táto funkcia však oproti zeta funkcii bude meniť znamienka za sebou a to takto:
Všimnime si ešte, že pôvodná funkcia má aj párne čísla, L(s) je iba pre nepárne čísla, znamienka sa symetricky menia, tam kde je na ľavej strane plus je na pravej strane mínus (vzťah v zátvorke).
Takáto nová funkcia L(s) sa bude veľmi podobať na zeta funkciu. Bude mať symetriu voči kritickej priamke, ktorá prechádza 0,5. Znova dostaneme korene na kritickej priamke. Takýchto funkcii nájdeme viac a budú obsahovať Riemannovú hypotézu.
Tu prichádza na scénu Rámánudžan, ktorý sa zaoberal takouto funkciou, ktorú môže zapísať ako súčet :
Všimol si tieto súvislosti, teda presný poriadok vysvetlený na obr.2, obr.3.
Obr.2.
Obr.3.
Z týchto
zákonitosti si uvedomil, že môže vytvoriť takúto L funkciu:
Túto funkciu môžeme obdobne zapísať v súvislosti s Eulerovou formulou cez súčin prvočísiel. Táto Rámánudžanová L funkcia znova vykazuje vlastnosti Riemannovej zeta funkcie, má kritický pás, má kritickú priamku, má symetriu voči kritickej priamke (pravá a ľavá číselná os) a znova v nej platí Riemannova hypotéza.
Prednáška k L funkciam:
https://www.youtube.com/watch?v=u4W3IUE6SPY
Pre zaujímavosť A. Wiles využil L funkciu (jej modulárne vlastnosti) pri dôkaze Velkej Fermatovej vety, ktorá znie:
Nejestvujú celé čísla x,
y, z, väčšie ako nula, pre ktoré by
platilo 
, kde n - je prirodzené číslo väčšie
ako 2.
Ulamova špirála
Na záver článku je geometrická ukážka toho, ako sú prvočísla rozhádzané na číselnej osi. Ulamovu špirálu nájdete aj na wikipédii. Zoberme si čísla a budeme ich zapisovať postupne do špirály ako je na obr.4.
Obr.4 Ulamova špirála, zdroj: wikipédia.
Následne vyznačme, kde sa nachádzajú v tejto špirále prvočísla, obr. 5.
Obr.5 Ulamovaá špirála, zdroj: internet.
Zoberme si napr. uhlopričeku v postupnosti (1,7,21,43,73,111,157...) vzťah pre tieto čísla je jednoduchy:
- prírastky medzi číslami sú delta=6+8n, pričom n=0,1,2,2......infinity.
- Hodnoty čísiel nazvime D(1)=D(0)+delta, D(2)=D(1)+delta, D(3)=D(2)+delta
- príklad: D(1)=1+6, D(2)=7+(6+8*1)=21, D(3)=21+(6+8*2)=43 atď.
Ulam si všimol, že prvočísla sa vyskytujú prevažne na niektorých diagonálnych priamkach, viď. obr.6.
Obr6. Štruktúra prvočísiel v Ulamovej špirále, zdroj: internet.
Za Ulamovou špirálou nestojí žiadna mágia, prečo sú niektoré preferované oblasti zaplnené a niektoré vôbec súvisí s týmto:
Prvočísla môžu okrem samotnej 5 končiť na číslo 1,3,7,9. Formula je potom 6k+-1, pričom k=1...n. Akékoľvek velké číslo, ktoré končí 5 je vždy delitelné 5. Zastúpenie čísiel končiacich 1,3,7,9 je rovnomerné pre velký interval a je dané pravdepodobnosťou 0,25.
V tomto videu je to podrobnejšie vysvetlené:
zdrroj: https://www.youtube.com/watch?v=EK32jo7i5LQ&fbclid=IwAR0xOeIPHS0ze2H2w0k-Kqw-C2BsGFnxUb2WO5O_nir...