Riemannova hypoteza _ dodatok

Úvod

V tomto článku budú popísané ďalšie súvislosti na predchádzajúci diel o empirickom preverení Riemannovej hypotézy. Krátke zhrnutie z predchádzajúceho dielu je, že Riemannova hypotéza zrejme platí, pričom v predchádzajúcom diely boli preverené ideálne čísla (teda tie, čo maximalizujú Grönwall vzťah) na bežnom pc do veľkosti zhruba 10 exp 6722000. Zároveň bola vypočítaná aj aproximácia z vlastnosti priebehu ideálnych čísiel.
Referencia: 
(1) RAMANUJAN, ROBIN, HIGHLY COMPOSITE NUMBERS, AND THE RIEMANN HYPOTHESIS
(2) http://math.colgate.edu/~integers/l33/l33.pdf

Screenshot - 11_ 1 003jpg

Poďme sa teda pozrieť na ďalšie súvislosti empirického výpočtu z predchádzajúceho dielu. Výpočet bol vykonaný pre dve nosné sekvencie, teda: pre sekvenciu (1) a sekvenciu (3) - ideálne čísla. Odporúčam si pozrieť predchádzajúci článok, kde sú vysvetlené jednotlivé pojmy ako sekvencia (1), (3), ideálne čísla a podobne.

Sekvencia (1) - postupnosť čísiel 2,6,30,210..

Screenshot - 11_ 1jpg
obr.1 Tabuľka z pokročilého testovania sekvencie (1).

Sekvencia (3) - postupnosť ideálnych čísiel (highly composite numbers)

Screenshot - 11_ 1 002jpg
Obr.2 Tabuľa z pokročilého testovania sekvencie (3).

V prvom rade si všimneme veľkú podobnosť priebehu sekvencie (1) a (3). Tieto priebeh sú zrkadlovo otočené. Nie sú však dokonale symetrické. U sekvencie vzniká taktiež limitné úroveň na hodnote 1.082..Pri sekvencii (3) je to hodnota e ˆ gama.
Ramunujan nazval sekvneciu (3) vysoko- zložené čísla. Teda ideálne čísla, viď. predošlé diely - program sú highly composite number.


Vráťme sa však na chvíľu k prvo-číselnej vete:
999613e5-b676-46b0-8198-968175f932a6jpg
Obr. 3 počet prvočísiel v N
ea5c0b15-3c89-48e8-ac80-42356a535cfejpg
Z tabuliek však vidieť, že platí aj ďalšia vlastnosť (Autor: Robopol):
Screenshot - 11_ 1 004jpg

Screenshot - 11_ 1 005jpg
Ešte presnejšie vzťahy dostaneme tieto:
Screenshot - 11_ 1 006jpg

Mertensova veta:

Veľmi pekný vzťah (úzky súvis)  medzi zeta funkciou (Riemannova hypotéza) a Mertensova veta, vzťah ukazuje napr. tu - odkaz.

Lagarias theorem:

Screenshot - 25_ 1jpg
zdroj: referencia (2)

Odvodenie cez Lagarias theorem

Vo vzťahu vystupuje tzv. Hn - čo je harmonic series (harmonické čísla), ktoré sú dané vzťahom:
Screenshot - 25_ 1 002jpg
Viac o Harmonický číslach nájdeme napr. tu: odkaz
Nakoľko táto rada pomaličky konverguje, teda výpočet pre veľké čísla by zabral veľa času a výpočtového výkonu pre harmonické čísla platí:
 Screenshot - 25_ 1 003jpg
Z toho potom dostaneme:
Screenshot - 25_ 1jpg
Pre kontrolu výpočtu klikni na odkaz. Pre zaujímavosť, ak by sme zadali hornú hranicu Hn=ln(n)+1, dostaneme hodnotu limity = e.
Z tohto výpočtu plynie, že ak vysoko - zložené čísla (sekvencia (3)) majú sigma (N) menšiu ako udáva Lagariasov vzťah, potom by nebola nikdy prekročená hodnota e^gama.
Môžeme teda skontrolovať ako to bude, pre veľmi veľké čísla z tabuľky, viď. vyššie.


----článok je vo výstavbe---