Úvod
V tomto článku budú popísané ďalšie súvislosti na predchádzajúci diel o empirickom preverení Riemannovej hypotézy. Krátke zhrnutie z predchádzajúceho dielu je, že ekvivaletné podmienky pre Riemannovú hypotézu zrejme platia, pričom v predchádzajúcom diely boli preverené ideálne čísla (teda tie, čo maximalizujú Grönwall vzťah) na bežnom pc do veľkosti zhruba 10 exp 6722000. Zároveň bola vypočítaná aj aproximácia z vlastnosti priebehu ideálnych čísiel.Referencia:
(1) RAMANUJAN, ROBIN, HIGHLY COMPOSITE NUMBERS, AND THE RIEMANN HYPOTHESIS
(2) http://math.colgate.edu/~integers/l33/l33.pdf
(3) Prime_number_theorem
Poďme sa teda pozrieť na ďalšie súvislosti empirického výpočtu z predchádzajúceho dielu. Výpočet bol vykonaný pre dve nosné sekvencie, teda: pre sekvenciu (1) a sekvenciu (3) - ideálne čísla. Odporúčam si pozrieť predchádzajúci článok, kde sú vysvetlené jednotlivé pojmy ako sekvencia (1), (3), ideálne čísla a podobne.
Sekvencia (1) - postupnosť čísiel 2,6,30,210..
obr.1 Tabuľka z pokročilého testovania sekvencie (1).
Sekvencia (3) - postupnosť ideálnych čísiel (highly composite numbers)
Obr.2 Tabuľa z pokročilého testovania sekvencie (3).
V prvom rade si všimneme veľkú podobnosť priebehu sekvencie (1) a (3). Tieto priebeh sú zrkadlovo otočené. Nie sú však dokonale symetrické. U sekvencie vzniká taktiež limitné úroveň na hodnote 1.082..Pri sekvencii (3) je to hodnota e ˆ gama.
Ramunujan nazval sekvneciu (3) vysoko- zložené čísla. Teda ideálne čísla, viď. predošlé diely - program sú highly composite number.
Vráťme sa však na chvíľu k prvo-číselnej vete:
Obr. 3 počet prvočísiel v N
Z tabuliek však vidieť, že platí aj ďalšia vlastnosť (Autor: Robopol):
Ešte presnejšie vzťahy dostaneme tieto:
Mertensova veta:
Veľmi pekný vzťah (úzky súvis) medzi zeta funkciou (Riemannova hypotéza) a Mertensova veta, vzťah ukazuje napr. tu - odkaz.Lagarias theorem:
zdroj: referencia (2)
Odvodenie cez Lagarias theorem
Vo vzťahu vystupuje tzv. Hn - čo je harmonic series (harmonické čísla), ktoré sú dané vzťahom:
Viac o Harmonický číslach nájdeme napr. tu: odkaz
Nakoľko táto rada pomaličky diverguje, teda výpočet pre veľké čísla by zabral veľa času a výpočtového výkonu pre harmonické čísla platí:
Z toho potom dostaneme:
Z tohto výpočtu plynie, že ak vysoko - zložené čísla (sekvencia (3)) majú sigma (N) menšiu ako udáva Lagariasov vzťah, potom by nebola nikdy prekročená hodnota e^gama. Kľúčové je teda preukázať, že vysoko- zložené čísla (ich sigma) neprekročí Lagariasov vzťah. To by bol dôkaz ekvivaletných podmienok pre Riemannovú hypotézu.
Môžeme teda skontrolovať ako to bude, pre veľmi veľké čísla z tabuľky, viď. vyššie. No, ale ak sa pozrieme na upravený Lagarias vzťah (ako sa hovorí : lenivosť je matka pokroku) zistíme, že sme dospeli ku Grönwall vzťahu, kde je len malá zmena:
Lagarias vzťah je vždy väčší o faktor: +ln(N)+gama a ešte je člen N ln(ln N) zväčšený o koeficienty gama a násobený e^ε. Pri veľmi veľkých číslach však bude ten rozdiel (Lagariass- Grönwall) sústredený v ln(N), pre výpočet sigma(n). Teda Lagarias vzťah nie je nutné preverovať, keďže hodnoty sú väčšie ako u Grönwall vzťahu, kde algoritmus preveril obrovské čísla, ktoré potvrdili ekvivalentné podmienky pre Riemannovu hypotézu do zhruba 10 exp 6722000.
Ideálne čísla - highly composite numbers
Vráťme sa k schéme ideálnych čísiel, pretože pre dôkaz je potrebné formulovať jednoznačný vzťah pre tieto vysoko - zložené čísla. V predchádzajúcom diely je vzťah pre výpočet sigma ideálnych čísiel, zároveň táto formula je uvedená aj v referencii (2):teda platí:
Rýchly výpočet vo wolframe nám ukáže napr. pre k=100:
sigma (k=100)/N= odkaz
11.2676 je približne rovné ln(ln(N))*e^gama=11.323929 : N je vyrátané programom v pythone, viď. predošlý diel.
sigma(k=500)/N= odkaz
14.600 je približne rovné ln(ln(N))*e^gama=14.598277...
Mali by však platiť aj tieto vzťahy:
Preverme tieto nové vzťahy malým programom v pythone:
obr.4 zdrojový kód programu
Verzia programu na test Reformulation of Riemann hypothesis:
Download súboru z GitHub: sigma-max_test.py
Výsledky testov pre veľmi veľké čísla ukazuje tabuľka:
Z testu teda nerovnosť platí a pre veľké čísla vzťah doslova kopíruje priebeh sigma(max). Rozdiel sa stále postupne zväčšuje, čo znamená, že v zmysle ekvivalentných podmienok pre platnosť Riemannovej hypotézy naopak má logaritmus o niečo málo navrch oproti sigma(N)/N. V zmysle Guy Robin empirický výpočet vývoja by e ^ ln(ln(N)) bol o máličko silnejší faktor ako Sigma(N)/N. To je ďalšia indícia, že ekvivalentné podmienky pre Riemannovú hypotézu zrejme platia. Ostáva teda už len analytický dôkaz, že sigma(N)/N je smerom do nekonečna vždy menšia ako e ^ gama* ln(ln(N)).
Hľadanie analytického dôkazu
Poďme skúsiť, čo nám derivácia týchto funkcii povie (reformulácia vzťahov Robopol). Pri sigma/N však ide o diskrétnu postupnosť. Z tohto dôvodu (derivácia nedáva zmysel) sa teda pozrieme na susedné body (susedné prvočísla) viď. nižšie. Zoberieme si počiatočný bod p(k) a pozrieme sa ako rastie hodnota pre nasledujúce p(k+1). Na obrázku č.6 je odvodenie.
obr.6 Odvodenie rovnice pre susedné prvočísla
Dostali sme rovnicu, ktorá hovorí ako rastie funkcia pre ľubovolné p(k) - prvočíslo a jeho suseda. Keďže prvočísla vykazujú malé fluktuácie okolo vyhladenej krivky napr. v zmysle vzťahu pi(x)~Li(x), viď. prvo-číselná veta r.1849 nemôžeme očakávať, že ľavá strana rovnice bude pre všetky p(k) > ako pravá strana rovnice. To by však mohlo platiť pre vyhladenú krivku, ktorá aproximuje pi(x). Poďme to preskúmať.
V zmysle referencie (3) - Prime number theorem je vzťah:
Obr. 7 Max prime aproximation.
Vytvorime rovnicu, ktorá nám hovorí aká je x- ová vzdialenosť medzi dvoma prvočíslami (z vyhladenej krivky). No urobíme zjednodušenú variantu z rovnice x/log x, pretože pre uvedený vzťah (obr.7) dáva veľmi dlhé rovnice. Z tohto dôvodu urobíme malé zjednodušenie, kde sa princíp nemení.
Obr.8 Odvodené rovnice pre x/log(x). Poznámka: log(x) je prirodzený logaritmus.
Výsledky ručných testov vo Wolframe:
- Pre x/log(x) vychádza podmienka log(x+delta)>log(x)*(x+delta)/(x+delta-1) pri ručnom náhodnom testovaní splnená. Nenašiel som porušenie do čísiel, ktoré Vám Wolfram zadarmo vypočíta.
- Pre horné ohraničenie x/(log(x)-1.1) podmienka: log(x+delta)>log(x)*(x+delta)/(x+delta-1) pri ručnom testovaní zhruba od 10 ^ 6 nie je splnená, pravá strana rovnice je väčšia (v rozdiele na 6 desatinnom mieste a vyššie, záleží od veľkosti testovaného čísla).
- Pre aproximáciu pi(x): x/(log(x)-1), podmienka: log(x+delta)>log(x)*(x+delta)/(x+delta-1) pri ručnom náhodnom testovaní splnená. Nenašiel som porušenie do čísiel, ktoré Vám Wolfram zadarmo vypočíta.
V zmysle referencie (3) postačuje splniť nasledujúcu podmienku horného ohraničenia pi(x):
Teda nie je nutné preukázať to pre x/(log(x)-1.1). Ručné testovanie (vo Wolframe) ukázalo, že pre toto ohraničenie nie je splnená podmienka (viď. vyššie).
zvolme si epsilon=1.00005, potom otestujeme zopár čísiel a zistíme pre rovnicu pi(x)=x/(log(x)-1.00005):
napr. pre x=10^11 bude delta_x=25.3712
podmienka je splnená min delta_x=25.3284
Zopár som ich vyskúšal a podmienka je splnená do 10^12. Zdá sa, že aproximáciu pi(x): x/(log(x)-1.00005) spĺňa. Ručné testovanie rovníc sedí pre podmienku horného ohraničenia pi(x). Tým je teda empiricky do určitého čísla, ktoré Wolfram vypočíta podmienka splnená.
Empirické riešenie rovnice cez Python:
Obr.9 Zdrojový kód numerického riešenia rovnice
Verzia programu na test numerického riešenia rovnice:
Download súboru z GitHub: numerical_solution_1.py
Výsledky testov od 10 ^2 do 10 ^ 14 ukazuje tabuľka:
Obr.10 priebeh testovania: od 10^2 do 10 ^14
Zhodnotenie: Výsledky sú veľmi podobné ako vo Wolframe, výsledky rovnice však numerické metódy (bez úpravy premenných atď.) spoľahlivo ukazujú max do 10 ^12. Z priebehu však vidíme, že pre epsilon=1.00005 rozdiel (delta-delta_min) klesá smerom k nule. Z testovania nie je však možné povedať, či sa (delta-delta_min) dostane do záporných čísiel smerom k nekonečnu.
----pokračovanie v nasledujúcom článku---