Riemannova hypotéza - dodatok

Dodatok k preskúmaniu Riemannovej hypotézy.

Úvod

Po preskúmaní niektorých vlastností Riemmanovej funkcie dzeta, môžeme začať úvahy o možných dôkazoch, resp. protipríkladoch k tejto hypotéze. Naše preskúmavanie sa bude týkať práve týchto dvoch oblastí.

V prvej oblasti sa budeme zameriavať na podmienky platnosti RH a budeme sa snažiť nájsť protipríklad. Pokiaľ by sa nám niečo také podarilo, vlastne by sme dokázali, že RH neplatí.

V druhej časti sa pokúsime načrtnúť možné cesty k dôkazu RH, za predpokladu, že tento dôkaz nebude konštruktívny, ale takzvaný "nepriamy", čiže pomocou protirečenia.

V predchádzajúcich článkoch sme uviedli Robinovu neekvivalentnú podmienku s RH, ale platí to tak, že ak našťastie platí RH, tak platí aj Robinova podmienka. Ale môže nastať situácia, keď Robinova podmienka platí a RH neplatí. Avšak v tomto článku uvediem Robin-Lagariasovu podmienku, ktorá je už skutočne ekvivalentnou s RH.

Uvediem doteraz nepublikovanú kongruenciu pre Riemannovu dzeta funkciu, ktorá hovorí o zvláštnej vlastnosti Riemannovej funkcie a to je, že pre určité triedy prvočíselných dvojíc (ich súčinov) platí, že hodnota dzeta funkcie v záporných číslach sa dá vyjadriť celým číslom modulo danými prvočíslami.

Časť 1: Podmienka Robin - Lagarias

Na začiatok uveďme niektoré matematické formalizmy. Pre celé číslo n označme s(n) sumu všetkých deliteľov čísla n, vrátane n, t.j.:

s(n) = Sigma d, pre všetky d, ktoré delia n

Napríklad pre n = 4, s(4) = 1 + 2 + 4 = 7

Pre n = 6, s(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

Lagarias dokázal, že nasledujúce tvrdenie je ekvivalentné s Riemannovou hypotézou:

s(n) <= H_n + ln(H_n) * e^H_n, pre všetky n >= 1

kde H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

e - je Eulerovo číslo

ln - je prirodzený logaritmus

Tzn., že ak nájdeme pre celé číslo n, ktoré je väčšie alebo rovné 1, opačnú nerovnosť, tak sme dokázali, že RH neplatí.

Časť 2: Kongruencia pre hodnoty dzeta funkcie

Ako som už spomínal, ide o doposiaľ nepublikovanú teorému, ktorú som odvodil zo zápisov Srinivasa Ramanujan-a, inšpiroval som sa jeho poznatkami o hodnote dzeta funkcie pre párne čísla.

Nech p a q sú prvočísla v tvare 4*k + 3, potom platí:

dzeta_funkcia(-p*q) kongruentné s 0 (mod p * q)

Napríklad:

dzeta_funkcia(-3*7) kongruentné s 0 (mod 21)

dzeta_funkcia(-7*11) kongruentné s 0 (mod 77)

a pod.

Skôr než som tento výsledok sám dosiahol, prehľadal som všetky dostupné časti poznámok Srinivasa Ramanujana, najmä jeho neskôr publikované poznámky, kde bolo možné očakávať výskyt podobnej teorémy. Nenašiel som však žiadnu zmienku. Je možné, že Ramanujan takéto tvrdenie poznal, pretože pre neho to mohla byť "triviálna" záležitosť, avšak ja som to nikde v jeho publikáciách nenašiel.

Táto kongruencia veľmi súvisí s mojou snahou dokázať alebo vyvrátiť platnosť Riemannovej hypotézy. V ďalších článkoch priblížim, aké ďalšie podmienky za existencie nulových bodov dzeta funkcie z toho vyplývajú. Ide o veľmi silné tvrdenie, keďže viaže hodnoty dzeta funkcie pre záporné hodnoty premennej s prvočíslami p a q vo veľmi konkrétnom a pravidelnom tvare.

Pokiaľ by ste mali nejaké otázky, môžete sa ma opýtať v diskusii pod článkom.