Úvod
Referencia: Výpočet vychádza z Robin theoremhttps://mathworld.wolfram.com/RobinsTheorem.html
Finálny diel (golden) je vrcholom empirického výpočtu preverenia Riemannovej hypotézy, ktorý sumarizuje, opravuje a upresňuje zistenia z predchádzajúcich dielov. Program a kód programu bude dostupný open source na vedecké účely. Program umožňuje preverenie pre čísla, ktoré majú desaťtisíce číslic aj milióny (pokročilé testovanie). Na tak rozsiahly výpočet je potrebný výkonný počítač. Objavená formula viď. obr.2 takéto výpočty umožnila. Tento vzťah sa dá dokázať pomerne jednoducho (analyticky). Na miesto spočítavania všetkých kombinácií prvočíselného rozvoja dosadzovaných čísiel (viď. predošlé diely) postačuje krátky algoritmus, ktorý je 100% verifikovaný na tisícoch čísiel. Program obsahuje aj konverzie pre násobenie a delenie obrovských čísiel, aby mohol pokračovať smerom k nekonečnu. Hlavne sa jednalo o násobenie desatinných čísiel s obrovským celými číslami, či delenie obrovských čísiel.Z informácii (výpočtov) viď. nižšie sa javí, že kritická hranica 1.781 asi odolá do nekonečna. Z priebehu je vidieť, že k hranici sa krivka približuje pozvoľna a čoraz pomalšie.
Užívateľské prostredie programu
Obr. 1 Užívateľské prostredie programu, autor: Robopol.
Program a zdrojový kód v pythone
Final verzia Riemann:download súboru v Pythone: riemanm_hypothesis_final.py
alebo stiahnuť kód z GitHub: riemanm_hypothesis_final.py
alebo stiahnuť ".exe" súbor: riemann_hypothesis_final.rar ( - jeden ".exe" súbor + obrázok ".png" komprimované WinRar, velkosť:42MB)
Final verzia Guy Robin:
stiahnuť kód z GitHub: guy_robin_ver_final.py
stiahnuť ".exe" súbor: guy_robin_ver_final.exe (6.7 MB)
POPIS: Algoritmus obsahuje výpočet Guy Robin indexu pre rôzne sekvencie, postupnosti, pre potvrdenie platnosti Riemannovej hypotézy. Výpočet je možné robiť do nekonečna, všetko sa odvíja len od výpočtového výkonu PC. Optimálne však trvá výpočet pre sekvenciu 3: 40000 ideálnych čísiel zhruba 20 minút. Obrázok k programu riemann.png si stiahnite z github (pokiaľ spúšťate kód v pythone), umiestnite ho do rovnakej zložky ako je riemann_hypothesis_final.py, inak vyhodí chybovú hlášku.
Analytické vzťahy
Z algoritmu (viď zdrojový kód v Pythone)sa dajú odvodiť tieto vzťahy:
Obr.2 Vzťahy pre výpočet sigma v Guy Robin vzťahu.
Testovanie
Výpočet trval niekoľko hodín cca 5-6. No a výsledky dosiahli najvyššie skóre cez 1.780, čo je už veľmi blízko kritickej hranice,. Čitateľ, ak vlastní výkonný PC môže urobiť výpočet aj na 1 milión. .Testovanie do 300 tisíc:
Najlepšie skóre a zároveň posledné číslo v sekvencii, viď sekvenciu.
- klikni na odkaz (číslo obsahuje tisíce číslic)
To číslo ma viac ako tisíce číslic odhadom. Ak niekto chce výpis postupnosti čísiel s Guy Robin indexom musí rátať, že desaťtisíce a stotisíce čísiel výpisu záberu trocha času :)
test do 300 000.
Obr.3 Testovanie ideálnych čísiel do 300 000 ideálnych čísiel.
Modifikované testovanie
Pre ešte väčšie čísla bol program modifikovaný, aby vypočítal ako to je pre naozaj vzdialené čísla. Veľkosť čísla bude vyjadrená počtom prvočísiel násobených medzi sebou, pre ideálnu sekvenciu budú aj mocniny týchto prvočísiel. Veľkosť však bude udávaná počtom prvočísiel za sebou násobených, prípadne počtom číslic, ktoré testované číslo má.Testovanie sekvencie (1):
obr.4 testovanie sekvencie (1), tabuľka + graf priebehu.
Sekvencia (1) je základ pre koncipovanie nejakých záverov.
Testovanie sekvencie (3)- ideálne čísla:
obr.5 Riemann test - for very big numbers
Verzia Riemann test (program a zdrojový kód programu):
download súboru v Pythone: Riemanm_test.py
alebo stiahnuť kód z GitHub: Riemanm_test.py
alebo stiahnuť ".exe" súbor: Riemann_test.exe
Výsledky pokročilých testov:
Aproximácia do krátkej budúcnosti
Ekvivalentné podmienky RH, krátky výpočet aproximácie:- Všetky rozdiely sú pre všetky čísla sekvencie (3) oproti sekvencii (1) o niečo vyššie, viď tabuľky.
- Rozdiel u sekvencie (1) medzi 500 tisíc a 2 milióny je 0.0000286792.
- Pripočítajme tento rozdiel k hodnote 500 tisíc pre (3) sekvenciu. Následne by malo byť číslo pre 2 milióny väčšie ako 1.780994936 + 0.0000286792 =1.7810236152. Čo je spodný odhad čísla pre 2 mil.
- Stredný odhad je
1.780994936
+1.32*
0.0000286792
=1.781032792544
- Kritická hranica je na úrovni 1.78107241799019
Aproximácia do vzdialenej budúcnosti
Z dát sa dá aproximovať, sekvencia (3):
- Zoberme si rozdiel medzi 100 a 1000= 0.0109372138
- Zoberme si rozdiel medzi 1000 a 10000=0.0027122623
- Zoberme si rozdiel medzi 10000 a 100000=0.0006265745
- pre sekvenciu (1): z 5.04 na 4.52
- pre sekvenciu (3): 4.03 na 4.328
V tomto prípade pri 4.3 násobne menšom nasledujúcom rozdiele (od 100 000), by sme sa priblížili ku kritickej hranici pri 100 000 000 (teda pri sto miliónoch). No stále by sme boli pod ňou. Zoberme hodnotu 4 násobku dostaneme:
Pričom sekvencia :(sum 1/(4ˆn)*0.0006265745, n=1 to inf) konverguje, klikni na odkaz.
obr. 7.Horný odhad Guy Robin vzťahu.
Súčet:
1.7808693236+sum (1/(4ˆn))*0.0006265745), n=1 to infinity= 1.7808693236 +0.000208858= 1.7810781816
To je o niečo málo viac ako kritická hranica, treba si však uvedomiť, že sme zanedbali faktor klesajúcej hodnoty násobku 1/4.3 (pri predpoklade, že sa vlastnosť nijak nezmení, nie je na to dôvod). Vo vzťahu máme len konštantu 1/4 násobok. To by bol teda horný odhad.
Záver
Ekvivalentné podmienky pre Riemannová hypotézu boli preverené zhruba do 10 exp 6722000. Pre túto hodnotu nedôjde k prekročeniu kritickej hodnoty.Ďalšie zaujímavé súvislosti nájdete v pokračovaní (článok: Riemannová hypotéza _ dodatok).