Snenie matematikov

Úvod

Dostali sme sa do doby, kde si vyhradili právo na „pravdu“ matematici a ich exaktné dôkazy. Čoraz silnejšie rezonuje slovo matematický dôkaz. Máš rovnice? Lebo ak nemáš nedá sa to brať ako veda a podobné zúfalé názory zúfalých jedincov, ktorí majú dozaista celkom pomýlené názory, možno horšie a to pomýlenú hlavu.

Pozrime sa teda bližšie na matematiku a dôkazy.

V prvom rade treba povedať, čo často počuť o sedliackej logike. Matematické dôkazy nie sú sedliacka logika povedia, lebo tá údajne nestačí. Nechápem osobne, prečo sa používa sedliacka logika (dehonestujúc sedliakov). Skutočnosť je iba dvojrozmerná. Buď je logika dobrá alebo je zla, resp. logika je správna alebo nesprávna. Nenechajte sa zmiasť marketingovými rečami tisícov článkov o zložitosti matematický dôkazov. V skutočnosti si matematici vytvorili svoju hantírku zápisov a dôkazov (aby ušetrili na zápisoch). Bez znalosti symboliky je to nerozlúštiteľné.  Doslova si vytvorili vlastný jazyk šifier a symbolov ukazujúc (pôsobiac) akúsi nadradenosť nad obyčajnými ľuďmi so sedliackou logikou.

Dávajú si dokonca prestížne ceny (Fieldsova cena) za snenie nad vzdušnými zámkami. Prečo vzdušnými zámkami?

Pretože matematika je v určitých oblastiach presne také snenie o vzdušných zámkoch (napríklad teória množín, Cantorové množiny, mohutnosti nekonečna). Tomuto sa budem detailnejšie venovať v článku.

No znova ďalšia pravda je, že každá symbolika matematického dôkazu sa dá preložiť do jazyka sedliakov. Na počudovanie dôkazy dokáže vysvetliť len máloktorý matematik (v reči sedliakov). Hlavne, že je matematik predsa...

Pojem nekonečna

Treba si pohľadať, čo presne tento pojem znamená, ja len nadviažem na čudesnosť týchto predpokladov. Predpoklady však nutne determinujú výsledný stav, pravdu. Euklidov priestor je zložený pre každý smer (x, y, z) z matematických bodov (matematická entita), pričom bod je bezrozmerný a má nulovú veľkosť. Teda je tu okamžite oxymoron. Máme body a tie majú nulovú veľkosť = teda nemôžu existovať. Teda predstavme si priamku zloženú z nekonečne veľa nulových bodov, ktoré tvoria priamku. Tu nutne skončí každý sedliak, pretože matematici s pokojom Angličana sa tvária, že dostanú napr. kus úsečky zložením nulových bodov tesne za sebou.  

Ďalšia vec, čo sedliak tiež nemôže pochopiť ako môžu byť body tesne vedľa seba, tak, že neexistuje medzera a zároveň tvrdiť, že sú to body. Pretože bod je predsa diskrétny objekt. Teda je ohraničený a nie kompaktný ako priamka (aj keď ohraničiť niečo nulovej veľkosti nejde). Takže, už hneď v úvode do Euklidovho priestoru dostanete školu matematickej logiky absurdít – matematického snenia.

Potencionálne a aktuálne nekonečno

V reči sedliakov je potenciálne nekonečno proces napr. delenia úsečky na nekonečne množstvo úsečiek, ktoré limitne (ich veľkosť) ide k nule. Teda jedná sa akýsi nikdy nekončiaci proces, nedosiahnuteľný konečný stav.

Aktuálne nekonečno znova vymysleli matematici a povedali, no prečo si klásť limity, že úsečku budeme deliť na čoraz menšie kúsky, rovno povedzme, že sme tento stav dosiahli a potom máme úsečky nulovej veľkosti – teda tie body.

Cantorova diagonála

Toto je jadro článku, kde Vám ukážem matematický dôkaz, ktorému sa nadáva Cantorova diagonála. No najskôr treba ozrejmiť pojem kardinalita množín - mohutnosť.

Mohutnosť alebo kardinalita je zovšeobecnením pojmu počet prvkov množiny.

Symbol, ktorým sa označuje mohutnosť množiny sa zvykne nazývať kardinálne číslo. Pre konečné množiny je to prirodzené číslo rovné počtu prvkov množiny.


Screenshot_2020-04-08 temp-lecture dvi - UInf-lect--11 pdf1png

Obr.1 Kardinalita, zdroj: internet

Bližšie v článku viď.

Cantorová diagonálna metóda dokazuje, že Mohutnosť množiny reálnych čísiel ma väčšiu mohutnosť ako množina prirodzených čísiel. Mohutnosť prirodzených čísiel je alef (klasické nekonečno). Mohutnosť reálnych čísiel je však c - mohutnosť kontinua. Teda väčšie nekonečno.

Matematici teda dokázali, nie len že je nekonečno, ono je ešte k tomu väčšie nekonečno, ako to klasické nazývané kontinuum.

Objasnenie Cantorovej metódy

No najskôr sa pozrime na kardinalitu celých čísiel a zlomkov, alebo prirodzených čísiel k napr. párnym číslam prekvapivo dostaneme rovnakú kardinalitu tzv. bijekciou. 


Screenshot_2020-04-08 temp-lecture dvi - UInf-lect--11 pdfpng

Obr.2 Bijekcia prirodzených čísiel k racionálnym, zdroj: internet

Čitateľ nech si všimne šípky priradzujúce celé čísla k racionálnym (zlomkom). Samozrejme na šípke je priradených čoraz viac racionálnych k celým číslam. Pre vysvetlenie napr. súčet, či násobenie s nekonečnom je stále len nekonečno, teda klasický alef0. Teda napr. 4 x alef0=alef0.

Vráťme sa teraz k tomu ako funguje ta diagonálna metóda pre prirodzené čísla vs reálne čísla v zmysle obr.3.

Screenshot_2020-04-08 temp-lecture dvi - UInf-lect--11 pdf2png

Obr. 3 Princíp diagonálnej metódy, dôkaz sporom, zdroj: internet.

Je to dôkaz sporom kde vytvoríme reálne číslo z intervalu 0 – 1, ktoré tam určite nebude. Metóda je popísaná na obr. Z obrázka je pomerne jasné, že vytvoríme číslo, ktoré sa líši od každého v desatinnom mieste. Zdá sa to byť nepriestrelné! No možno len naoko, viď nižšie.


Ukážem Vám však inverzný prístup, čo bude tiež nespochybniteľný. Pre zjednodušenie, až to je jasné obmedzím sa najskôr na veľkú množinu čísiel, nie hneď nekonečnú. Napr. majme reálne čísla so sto desatinnými miestami a začneme:

g(0)=0.0000000...1

g(1)=0.0000000...2

g(2)=0.0000000...3

.


g(n)=0.9999999...9


Vytvárame teda priamo všetky reálne čísla (100 desatinných miest), od najmenšieho po najväčšie číslo 0,999....

Chýba mi nejaké číslo? Nechýba, pretože idem postupne.

Zovšeobecníme to na ľubovoľnú množinu s ľubovoľným počtom desatinných miest. Znova dostaneme to isté, nechýba žiadne číslo! No a ako to bude s nekonečným desatinným zápisom? Cantor tvrdí, že mi nejaké bude chýbať.  

Analogicky sme ukázali, že to funguje pre ľubovoľnú množinu takéhoto priradenia. Malo by to byť iné práve pre nekonečnú množinu? Nuž toto nedáva logiku. Podľa matematikov máme aktuálne nekonečno a teda povedzme, že vieme zapísať nekonečné desatinné číslo. Dôkaz diagonály predsa nestojí na tom, či dokážem zapísať nekonečné desatinné číslo! Tak povedzme, že dokážem a analogicky s popísaným spôsobom vytvorím všetky čísla a nebude žiadne chýbať. Pretože Cantorov dôkaz je chybný v svojej podstate a veľmi vratký. V čom je tá chyba? On tvorí iné číslo, že mení čísla na desatinnom mieste a ako keby mal navyše jedno číslo, teda väčšie ako nekonečno, ktoré množina neobsahuje. To je dané tým, že človek so sedliackou logikou išiel riešiť vzdušné zámky.
Presnejšie povedané, Cantor v tichosti predpokladá platnosť dôkazu sporom v nekonečnej množine. Z tohto záveru potom plynie to kontroverzné tvrdenie o mohutnosti reálnych čísiel. Totiž v akejkoľvek konečnej množine by jeho dôkaz nemohol platiť, pretože vytvoril číslo, ktoré pôvodná množina neobsahuje.

Dômyselný dôkaz

Zoberme si situáciu, že máme úplnú, konečnú množinu všetkých reálnych čísiel na (100 desatinných miest), od najmenšieho po najväčšie, viď. vyššie a poďme teraz v stopách Cantrovho dôkazu sporom, kde vytvárame číslo, ktoré sa aspoň v jednom desatinnom čísle líši. Otázka znie:
vytvoríme číslo, ktoré tam nie je?

My máme všetky čísla postupne, v rade za sebou. Teda nie je možné vytvoriť číslo, čo tam nie je. Teda sme použili dôkaz (Cantrov dôkaz sporom), ktorý sám o sebe vedie k sporu. Teda k nezmyslu.

V čom je teda problém?
Predstavme si tu situáciu, že reálne si píšeme číslo (100 cifier), pričom na každom desatinnom mieste zameníme hodnotu za inú (v poradí ako sú čísla napísané). Takýmto spôsobom vytvoríme číslo, ktoré množina obsahuje, aj keď sa naše číslo líši aspoň na jednom desatinnom mieste od každého, čo nám bolo dovolené zmeniť. Máme pocit, že sme vytvorili číslo, ktoré tam nie je. No to nie je možné, viď vyššie (prečo nie je možné).
Na to, aby sme splnili podmienku, že sa líši od každého aspoň na jednom desatinnom mieste predpokladáme, že urobíme jedno číslo navyše (čo pôvodná množina neobsahuje). Tu je pes zakopaný! Tento spôsob dôkazu totiž vedie k paradoxu. Tu je pekne vidieť, že dôkazy stále musia byť konfrontované s realitou, nie len komisiou na dôkazy!

To, čo sa presne deje na konečnej množine si môže vyskúšať každý, aby nedošlo k paradoxu, keď takýto jednoznačný príklad začneme riešiť je v tom, že:
- stupeň voľnosti (voľby zmeny na konkrétnom, desatinnom mieste) pri konečnej množine čísiel je menší ako počet prvkov množiny. 
príklad:

binárna sústava: voľba je možná iba 0,1, vynechajme (0,0). Rozpíšme všetky možnosti:
(0,1)
(1,0)
(1,1)

Vytvorme číslo, ktoré sa líši od každého aspoň na jednej číslici, skúsme:

1 krok: (1,1)

Od prvého čísla sa líši na prvej číslici. Od druhého sa líši na druhej číslici, tretie číslo v zozname je však naše číslo. Nemôžeme zmeniť viac ako dve číslice, pričom úplná množina variácii (okrem 0,0) má tri prvky.

Z tohto plynú konzekvencie, a to silné. Možno si neuvedomujeme závažnosť toho, že zle použitý dôkaz sporom nefunguje, tak ako si to predstavujeme vo všetkých prípadoch.

Teda je jasné, že tento príklad nie je štvorcová matica. Táto matica má viac riadkov ako stĺpcov, aby nedošlo k paradoxu.


Záver

Tento kritický článok má poukázať na niektoré aspekty v matematike, resp. na niektoré správanie sa, povyšovanie sa matematikov (pobláznených jedincov). Matematika je samozrejme užitočná v rôznych oblastiach. Osobne ju mám rád, no treba si naliať čistého vína ako sa hovorí. Netreba všetko automaticky prijímať, keď niekto povie mám matematický dôkaz. To je možno len náplasť na laickú verejnosť, pre ktorú sa matematika stáva posvätné teliatko.