Zákony zachovania- Platia tvrdenia?

Úvod

Tento článok bude venovaný jednej zaujímavosti zo stredoškolskej fyziky. Pri jednej z debát ma napadlo, že či je naozaj pravda, že pre pružnú zrážku telies potrebujeme obidva zákony zachovania:

  • Zákon zachovania kinetickej energie.
  • Zákon zachovania hybnosti.

Vo fyzike sa tvrdí:

Na to, aby sme poznali výsledné rýchlosti po zrážke napr.  dvoch gulí potrebujeme oba zákony zachovania.

Teraz Vám ukážem, že to nie je celkom pravda. Existuje výnimka, viď. nižšie.

Zadanie:

Majme dve gule o hmotnosti m1 a m2. Nech sa tieto dokonalé, pružné gule pohybujú pred zrážkou rýchlosťou voči podložke v1 a v2. Po zrážke sa pohybujú výslednými rýchlosťami voči podložke u1 a u2. Znázornime si túto zrážku na obr. č.1.

Zakony_zachovania_vo_fyzike_Experimenty2_FMT_august_html_7ba1681cjpg

Obr. č.1 Pružná zrážka, zdroj: internet.

Napíšme si sústavu dvoch rovníc, jedna je rovnica pre zachovanie hybnosti, druhá rovnica je zachovanie kinetickej energie.

Sústava rovníc vo fyzike:

m(1) v(1)+m(2) v(2)=m(1) u(1)+m(2) u(2)                                      //hybnosť

1/2 m(1) v(1)^2+1/2 m(2) v(2)^2=1/2 m(1) u(1)^2+1/2 m(2) u(2)^2             //energia


Riešením tejto sústavy dostane hľadané rýchlosti. To je tvrdenie fyziky.

No pokúsme sa to urobiť bez jednej z rovnice napr. vynecháme rovnicu o hybnosti. Máme dve neznáme premenné pre jednu rovnicu. To samozrejme nestačí, potrebujeme ešte jednu rovnicu, ktorá je iná a nevzíde priamo zo zákona zachovania hybnosti.

Taká rovnica sa dá nájsť a jej nájdenie je celkom jednoduché. Stačí si uvedomiť fakt, že vzájomná rýchlosť pri zrážke napríklad zo sústavy podložky je rovnaká aj po zrážke. Táto vzájomná rýchlosť zase vychádza z univerzálneho zákona symetrie zákonov z rôznych pozorovaných sústav. No predovšetkým, že sa nestráca kinetická energia.To platí napríklad aj zo sústavy spojenej s jednou z gulí, napr. zo sústavy gule č.1, aj gule č.2. Napíšme toto tvrdenie vo forme rovnice: 

|v(2)-v(1)|=|u(2)-u(1)|

Vzťah je v absolútnych hodnotách, aby nám nerobili problém znamienka, pretože podľa konvencie, napr. smer vpravo je kladná rýchlosť a smer vľavo záporná rýchlosť.

Čistejší vzťah musíme rozdeliť na varianty:

  • Gule idú v jednom smere pred zrážkou,  potom platí |v(2)-v(1)|
  • Gule idú v jednom smere po zrážke, potom platí |u(2)-u(1)|
  • Gule idú v protismere pred zrážkou, potom platí |v(2) |+|v(1)|
  • Gule idú v protismere po zrážke, potom platí |u(2) |+|u(1)|

Takže je to o niečo komplikovanejšie. Výber členov v rovnici závisí od toho, aký prípad nastal.


Takže naša nová sústava rovníc je :

1/2 m(1) v(1)^2+1/2 m(2) v(2)^2=1/2 m(1) u(1)^2+1/2 m(2) u(2)^2

|v(2)-v(1)|=|u(2)-u(1)|   // v prípade, že idú gule rovnakým smerom, pred aj po zrážke



Odvodenie týchto rovníc už nemám, lebo ma to napadlo pred viac ako rokom a odvodenie sa nezachovalo. Takže nechám na záujme čitateľa, či si to chce preveriť s novou sústavou rovníc. Ja som to skúšal a vyšlo to. Ten kto nechce ručne odvodzovať, môže použiť napr. wolfram matematiku na internete.

Následne výsledky môže porovnať s týmto overeným generátorom zrážok:
https://www.walter-fendt.de/html5/phsk/collision_sk.htm

Dôkaz:

Je pomerne jednoduchý a spočíva v tom, že preveríme zopár zrážok a výsledné hodnoty. Pretože nie je možné, aby rovnice dali ten istý, presný výsledok v niektorých prípadoch a v niektorých nie. Zároveň každý prípad pružnej zrážky naozaj zachováva vzájomnú rýchlosť z rôznych sústav pred a po zrážke, to je dané 3 NZ (Newtonov zákon) a tým, že pri dokonale, pružnej zrážke sa nestráca kinetická energia vo forme tepla napr..

Dnes sa definujú zákony zachovania z variačného počtu theorém Neotherovej. Jeden plynie zo zachovania zákonov vzhľadom na posunutie v priestore, druhý odvodíme zo symetrie posunutia v čase. To je skôr matematické vysvetlenie súvisiace s Lagrangeovou funkciou L=T-V (T - kinetická energia systému, V - potenciálna energia systému).

Iný pohľad na zákony zachovania ponúkajú Newtonové zákony a to takto:
  • Kinetická energia sa zachováva ako veličina, ak sa nepremieňa na iné formy ako je napr.teplo. Teda v reálnom svete zrážky nie sú ideálne a kinetická energia sa nezachováva. Pričom kinetickú energiu možno chápať ako veličinu, ktorá dokáže vyprodukovať (premeniť sa) prácu rovnú pôsobiacej Newtonovskej sile po určitej dráhe. Pre dokonalé telesa, kde sa nemení forma kinetickej energie na inú platí zákon zachovania kinetickej energie.
  • Zákon zachovania hybnosti platí vždy a odvodenie plynie z 3NZ. Pri zrážke telies sila akcie a sila reakcie za určitý čas (impulzná veta) nemení celkovú hybnosť sústavy. Telesa sa teda pri zrážke urýchľujú a spomaľujú, no celkový prírastok celej sústavy v hybnosti sa nemení.

Záver:

Pre stredoškolákov to môže byť pekný spôsob ako napáliť svojho učiteľa.  Zrejme platí aj kombinácia zákonu zachovania hybnosti gulí a zachovania vzájomnej rýchlosti v zmysle článku. To som už ručne nepreveroval, no nič tomu nebráni.

Vysvetlenie, prečo sa zaobídeme len s jedným zákonom a vzájomnou zachovávajúcou sa rýchlosťou je dané tým, že pri dokonale pružnej zrážke sa nemení kinetická energia na inú formu a musí teda aj po zrážke ísť o symetrickú situáciu, len v opačných smeroch.