SK | EN

Podmienené odvodenie newtonovského limitu EDQ

Conditional derivation of the Newtonian EDQ limit

Tento dokument ukazuje, za ktorých dodatočných predpokladov môže EDQ reprodukovať newtonovský gravitačný limit. Nejde zatiaľ o odvodenie týchto predpokladov z mikrodynamiky prechodovej matice \(\mathbf{T}\). Navrhovaný mechanizmus opisuje gravitáciu ako kumulatívnu aktualizáciu vnútorného hybnostného stavu iteratívne aktualizovaného vzoru. Asymetria prechodov v mriežke \( \Omega \) sa pri každom kroku zapisuje do smerovej pamäti vzoru, čo sa v slabom a pomalom limite môže prejaviť ako zrýchlenie.

This document shows under which additional assumptions EDQ can reproduce the Newtonian gravitational limit. It does not yet derive those assumptions microscopically from the transition matrix \(\mathbf{T}\). The candidate mechanism describes gravity as a cumulative update of an iterating pattern's internal momentum state. Transition asymmetry on the \( \Omega \) grid is written into the pattern's directional memory at each step, which can appear as acceleration in the weak and slow limit.

Krok 1: Princíp informačnej modifikácie prechodov

Step 1: The Principle of Informational Modification of Transitions

Predpokladajme existenciu stabilnej konfigurácie (častice) v pevnom uzle označenom ako \( x_M \), s vnútornou hustotou alebo zložitosťou vyjadrenou makroskopickou „hmotnosťou“ \( M \).

Podľa 9. postulátu EDQ (Fundamentálne sily ako emergentné štatistické javy) už samotná prítomnosť tejto hmotnej konfigurácie modifikuje svoje okolie v sieti. Táto prítomnosť priamo ovplyvňuje maticu prechodových pravdepodobností \(\mathbf{T}\) ostatných susedných uzlov bez toho, aby častica musela „vysielať“ nejaké skryté nosiče sily.

Dodatočný dynamický predpoklad: v stacionárnom slabopoľovom režime predpokladáme lineárny, lokálne izotropný a zachovaný radiálny tok modifikácie \(\mathbf{J}_\rho\). Samotný počet uzlov na sférickej vrstve zákon \(1/r^2\) neurčuje; poskytuje iba geometriu plochy. Inverzný štvorec vznikne až po spojení tejto geometrie so zachovaním celkového toku cez každú uzavretú vrstvu.

Let us assume the existence of a stable configuration (a particle) located at a fixed node denoted as \( x_M \), with an internal density / complexity expressed as macroscopic "mass" \( M \).

According to the 9th postulate of EDQ (Fundamental forces as emergent statistical effects), the mere presence of this massive configuration modifies its surrounding network. This presence directly influences the transition probability matrix \(\mathbf{T}\) of the surrounding nodes without the particle having to "broadcast" or emit any hidden force carriers.

Additional dynamical assumption: in the stationary weak-field regime we assume a linear, locally isotropic, conserved radial modification flux \(\mathbf{J}_\rho\). Counting the nodes in a spherical shell does not by itself determine a \(1/r^2\) law; it only supplies the area geometry. The inverse square follows only after combining that geometry with conservation of the total flux through every closed shell.

\[ \nabla\!\cdot\!\mathbf{J}_\rho = \mathcal{S}M\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_M), \qquad \oint_{S_r}\mathbf{J}_\rho\!\cdot d\mathbf{S}=\mathcal{S}M \] \[ N_{\text{shell}}(r)\sim \frac{4\pi r^2}{a^2}, \qquad \left|\mathbf{J}_\rho(r)\right|=\frac{\mathcal{S}M}{4\pi r^2} \quad (r\gg a) \] \[ \Delta P(r) \propto \left|\mathbf{J}_\rho(r)\right| \propto \frac{M}{4 \pi r^2} \tag{1} \]
(Pozn.: \(\Delta P(r)\) tu označuje intenzitu lokálnej modifikácie prechodov (gradient alebo smerovú asymetriu), nie „absolútnu pravdepodobnosť“.) (Note: Here \(\Delta P(r)\) denotes the intensity of the local transition modification (gradient/bias), not an "absolute probability".)
(Konštanta \(\mathcal S\) určuje intenzitu zdroja. Zachovanie toku je pracovný predpoklad, ktorý musí vyplynúť z konkrétnej mikrodynamiky EDQ; disipácia alebo absorpcia by radiálny zákon zmenila.) (The constant \(\mathcal S\) fixes source strength. Flux conservation is a working assumption that must follow from a concrete EDQ micro-dynamics; dissipation or absorption would change the radial law.)

Technická poznámka (1/r a 1/r²): Zaveďme skalárnu potenciálovú modifikáciu \(\rho(r)\) konštitutívnym vzťahom \(\mathbf{J}_\rho=-D\nabla\rho\), kde \(D>0\). Pri okrajovej podmienke \(\rho(\infty)=0\) potom stacionárny bodový zdroj vedie na \(\rho\propto1/r\).

Technical note (1/r vs 1/r²): Introduce a scalar potential-like modification \(\rho(r)\) through the constitutive relation \(\mathbf{J}_\rho=-D\nabla\rho\), with \(D>0\). With the boundary condition \(\rho(\infty)=0\), a stationary point source then gives \(\rho\propto1/r\).

\[ \rho(r)=\frac{\mathcal{S}M}{4\pi D r}, \qquad \nabla\rho(r)=-\frac{\mathcal{S}M}{4\pi D} \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_M}{r^3}, \qquad r=|\mathbf{x}-\mathbf{x}_M| \tag{1a} \]

Krok 2: Zavedenie asymetrickej prechodovej funkcie

Step 2: Introduction to the Asymmetrical Transition Function

Predstavme si testovací vzor hmotnosti \( m \) vo vzdialenosti \( r \) od veľkej hmotnosti \( M \).

Vo voľnom priestore má jednoduchá kubická \(3D\) mriežka v lokálnom pokojovom stave šesť ekvivalentných orientovaných hrán, teda \(P_{\pm x}=P_{\pm y}=P_{\pm z}=1/6\). Dvojicu pravdepodobností \(1/2\pm\delta_{int}\) nižšie používame iba ako podmienený efektívny radiálny kanál: po podmienení na krok v radiálnom smere rozlišuje pohyb k zdroju a od zdroja. Ak vzor nesie nenulovú hybnosť, jeho vnútorná cyklická štruktúra obsahuje smerovú pamäť (vnútornú smerovú asymetriu \(\delta_{int}\)), ktorá bez externého poľa reprodukuje rovnomerný pohyb (1. Newtonov zákon). Ako presne táto zotrvačnosť súvisí s vnútorným kmitaním, detailne opisuje odvodenie Schrödingerovej rovnice (analógia so zotrvačníkom).

Modifikácia \(\Delta P(r)\) spôsobená centrálnou hmotnou konfiguráciou \(M\) časticu neprenáša priamo v priestore, ale v každom kroku pridáva lokálny vektorový príspevok \(\boldsymbol\delta_{ext}(\mathbf x)\) do vnútorného hybnostného parametra vzoru. Tento prírastok z okolia zapisujeme do postupnej aktualizácie hybnostného stavu (smerovej pamäti):

Imagine a test pattern of mass \( m \) at a distance \( r \) from a large mass \( M \).

On a simple cubic \(3D\) lattice, a locally resting state has six equivalent oriented edges, so \(P_{\pm x}=P_{\pm y}=P_{\pm z}=1/6\). Below, the pair \(1/2\pm\delta_{int}\) is used only as a conditional coarse-grained radial channel: after conditioning on a radial step it distinguishes motion toward and away from the source. If the pattern carries non-zero momentum, its internal cyclic structure stores directional memory (internal bias \(\delta_{int}\)) that reproduces uniform motion without an external field (Newton's first law). How exactly this inertia relates to internal oscillation is detailed in the Schrödinger equation derivation (Flywheel analogy).

The modification \(\Delta P(r)\) generated by the central \((M)\) matrix does not directly transport the particle in space; instead, at each step it adds a local vector contribution \(\boldsymbol\delta_{ext}(\mathbf x)\) to the pattern's internal momentum parameter. We denote this local external increment updating the inertia as:

\[ P(\mathrm{away}\mid\mathrm{radial}) = \frac{1}{2} - \delta_{int}, \qquad P(\mathrm{toward}\ M\mid\mathrm{radial}) = \frac{1}{2} + \delta_{int} \tag{2} \]
Symbol \(\delta_{int}\) označuje aktuálny parameter vnútornej hybnosti vzoru, ktorý sa v každom kroku aktualizuje o vonkajší asymetrický príspevok \(\boldsymbol\delta_{ext}(\mathbf x)\) z mriežky (úmerný gradientu z rovnice 1a): Where \(\delta_{int}\) is the current internal momentum of the pattern, which is updated at each step by the external asymmetric bias \(\boldsymbol\delta_{ext}(\mathbf x)\) from the grid (proportional to the gradient from 1a):

\[ \Delta\boldsymbol{\delta}_{int}=\boldsymbol{\delta}_{ext}(\mathbf{x}) =\chi\nabla\rho(\mathbf{x}) =-k_{\mathrm{cal}}M\frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_M}{r^3}, \qquad k_{\mathrm{cal}}>0 \tag{3} \]
(Vzťah \(\boldsymbol\delta_{ext}=\chi\nabla\rho\) je lineárny model odozvy. Konštanta \(k_{\mathrm{cal}}=\chi\mathcal S/(4\pi D)\) sa musí odvodiť z mikrodynamiky EDQ alebo kalibrovať; geometria sama ju neurčuje. Ak \(M\) má rozmer hmotnosti, potom \([k_{\mathrm{cal}}]=L^2/M\).) (The relation \(\boldsymbol\delta_{ext}=\chi\nabla\rho\) is a linear-response ansatz. The coefficient \(k_{\mathrm{cal}}=\chi\mathcal S/(4\pi D)\) must be derived from EDQ micro-dynamics or calibrated; geometry alone does not determine it. If \(M\) has units of mass, then \([k_{\mathrm{cal}}]=L^2/M\).)

Krok 3: Podmienený prechod k makroskopickému zrýchleniu

Step 3: Conditional transition to macroscopic acceleration

V lineárnom režime malej smerovej asymetrie zaveďme explicitnú mapu medzi bezrozmernou smerovou pamäťou a makroskopickou rýchlosťou: \(\mathbf v=v_*\boldsymbol\delta_{int}+\mathcal O(|\boldsymbol\delta_{int}|^3)\), kde \(v_*\) má rozmer rýchlosti. Univerzálnosť \(v_*\) pre rôzne stabilné vzory je samostatná mikrodynamická požiadavka.

Keď sa vzor nachádza v gravitačnom poli, informačný gradient \(\boldsymbol\delta_{ext}\) z rovnice (3) negeneruje priamo okamžitú rýchlosť. V každom fundamentálnom výpočtovom kroku systému (\(\Delta t\)) táto externá asymetria zapíše do vzoru informačný prírastok, čím elementárne zmení jeho vnútornú pamäť rýchlosti:

\(\Delta\boldsymbol\delta_{int}=\boldsymbol\delta_{ext}(\mathbf x)\)

Za týchto predpokladov je prírastok rýchlosti \(\Delta\mathbf v=v_*\boldsymbol\delta_{ext}\) a zrýchlenie je jeho zmena za krok \(\Delta t\).

Poznámka k platnosti: v tomto kroku pracujeme v režime malých smerových asymetrií v jednotlivých elementárnych krokoch (\(|\delta_{int}|\ll 1/2\)), aby zostali prechodové pravdepodobnosti v intervale \([0,1]\). Ak sa uplatní saturácia alebo nelineárna mapa \(\mathbf v(\boldsymbol\delta)\), newtonovský zákon už z nasledujúcej lineárnej rovnice nevyplýva a tento režim treba odvodiť osobitne.

In the linear small-bias regime, introduce an explicit map between dimensionless directional memory and macroscopic velocity: \(\mathbf v=v_*\boldsymbol\delta_{int}+\mathcal O(|\boldsymbol\delta_{int}|^3)\), where \(v_*\) has units of velocity. Universality of \(v_*\) across different stable patterns is a separate micro-dynamical requirement.

When the pattern is in a gravitational field, the informational gradient \(\boldsymbol\delta_{ext}\) from equation (3) does not directly generate an instantaneous velocity. In each fundamental computational step of the system (\(\Delta t\)), this external asymmetry writes an informational increment into the pattern, thus essentially changing its internal velocity memory:

\(\Delta\boldsymbol\delta_{int}=\boldsymbol\delta_{ext}(\mathbf x)\)

Under these assumptions, the velocity increment is \(\Delta\mathbf v=v_*\boldsymbol\delta_{ext}\), and acceleration is its change over one step \(\Delta t\).

Validity note: this step assumes small per-step biases (\(|\delta_{int}|\ll 1/2\)) so transition probabilities remain within \([0,1]\). If saturation or a nonlinear map \(\mathbf v(\boldsymbol\delta)\) becomes relevant, the Newtonian law no longer follows from the linear equation below and that regime must be derived separately.

Krok 1: Prírastok rýchlosti na jeden elementárny časový úsek systému \(\Delta t\): Step 1: Velocity increment per one elementary system time interval \(\Delta t\): \[ \Delta\mathbf v(\mathbf x)=v_*\Delta\boldsymbol\delta_{int} =v_*\boldsymbol\delta_{ext}(\mathbf x)=v_*\chi\nabla\rho(\mathbf x) \]
Krok 2: Makroskopická definícia zrýchlenia pri konštantnom \(\Delta t\): Step 2: Macroscopic definition of acceleration under conditions of constant \(\Delta t\): \[ \mathbf a(\mathbf x)=\frac{\Delta\mathbf v}{\Delta t} =\frac{v_*\chi}{\Delta t}\nabla\rho(\mathbf x) \]
Krok 3: Bodový zdroj v podmienenom stacionárnom limite: Step 3: Point source in the conditional stationary limit: \[ \mathbf a(\mathbf x)=-G_{\mathrm{eff}}M \frac{\mathbf x-\mathbf x_M}{|\mathbf x-\mathbf x_M|^3}, \qquad G_{\mathrm{eff}}\equiv\frac{v_*k_{\mathrm{cal}}}{\Delta t}, \qquad [G_{\mathrm{eff}}]=\frac{L^3}{M T^2} \tag{4} \]

Krok 4: Podmienený newtonovský tvar

Step 4: Conditional Newtonian form

Ak vynásobíme vektor zrýchlenia objektu jeho zotrvačnou hmotnosťou (\( m_i \)), získame definíciu makroskopickej sily. Fyzicky však nejde o pôsobenie na diaľku: modifikované okolie v každom kroku aktualizuje vnútorný hybnostný stav testovacieho vzoru (\(\Delta p\)), čím vytvára makroskopickú silu ako rýchlosť zmeny hybnosti v modifikovanej lokálnej mriežke. (V EDQ je \(m_i\) mierka zotrvačnosti vzoru; spôsob jej určenia z mriežkového modelu je rozobratý aj v odvodení Schrödingerovej rovnice.)

Rozsah záveru: Inverzný štvorec je vedúci asymptotický tvar iba pri predpokladoch zachovaného stacionárneho toku, lokálnej izotropie a lineárnej univerzálnej odozvy. Geometria sférickej vrstvy poskytuje faktor \(4\pi r^2\), ale dynamické predpoklady a hodnotu \(G_{\mathrm{eff}}\) musí určiť mikrodynamika EDQ. Zhodu s experimentálnym newtonovským limitom dostaneme po kalibrácii \(G_{\mathrm{eff}}\stackrel{!}{=}G\).

If we multiply the object's acceleration vector by its inertial mass (\( m_i \)), we obtain the definition of macroscopic force. Physically, however, this is not action at a distance: the modified neighborhood updates the test pattern’s internal momentum state (\(\Delta p\)) at each step, thereby producing macroscopic force as a rate of momentum change within the modified local probability grid. (In EDQ, \(m_i\) is a measure of the pattern’s inertia; its mapping from the grid is also discussed in the derivation of the Schrödinger equation.)

Scope of the conclusion: The inverse square is the leading asymptotic form only under the assumptions of stationary conserved flux, local isotropy, and linear universal response. Spherical shell geometry supplies the \(4\pi r^2\) factor, but EDQ micro-dynamics must establish the dynamical assumptions and determine \(G_{\mathrm{eff}}\). Agreement with the experimental Newtonian limit follows after calibrating \(G_{\mathrm{eff}}\stackrel{!}{=}G\).

\[ \mathbf F=m_i\mathbf a=-G_{\mathrm{eff}}M m_i \frac{\mathbf x-\mathbf x_M}{|\mathbf x-\mathbf x_M|^3} \]
\[ |\mathbf F|=G_{\mathrm{eff}}\frac{M m_i}{r^2}, \qquad G_{\mathrm{eff}}\stackrel{!}{=}G \tag{5} \]
\[ \mathbf g(\mathbf x)\equiv\mathbf a(\mathbf x) =-G\,M\frac{\mathbf x-\mathbf x_M}{|\mathbf x-\mathbf x_M|^3}, \qquad |\mathbf g(r)|=G\frac{M}{r^2} \tag{6} \]

Pracovný postulát ekvivalencie (mi = mg)

Working equivalence postulate (mi = mg)

V newtonovskom tvare zákona sa formálne objavia dve „hmotnosti“: zotrvačná \(m_i\) v \(F=m_i a\) a pasívna gravitačná \(m_g\) vo väzbe na modifikáciu siete. EDQ tu zatiaľ robí testovateľný pracovný postulát, nie odvodenie: tá istá vlastnosť vzoru určuje \(m_i\) aj jeho citlivosť na \(\nabla\rho\), teda \(m_g=m_i\). Univerzálnosť voľného pádu nasleduje iba pod touto podmienkou. Odvodenie z mikrodynamiky EDQ musí navyše prepojiť aktívnu zdrojovú hmotnosť \(M\) s jej zotrvačnosťou.

In the Newtonian form, two “masses” appear formally: inertial \(m_i\) in \(F=m_i a\), and passive gravitational \(m_g\) in the coupling to the network modification. EDQ currently makes a testable working postulate, not a derivation: the same pattern property sets \(m_i\) and its sensitivity to \(\nabla\rho\), so \(m_g=m_i\). Universality of free fall follows only under this condition. A micro-derivation must also relate the active source mass \(M\) to its inertia.

Ontologický význam: Gravitácia ako štatistický jav

Ontological Meaning: Gravity as a Statistical Phenomenon

Súvis s fundamentálnym mechanizmom grafu: Tento podmienený limit špecifikuje navrhovaný mechanizmus emergentnej gravitácie: kumulatívnu zmenu hybnosti vzoru spôsobenú asymetrickou informačnou štruktúrou mriežky. Pevný fyzikálny základ vznikne až po odvodení zachovania toku, odozvového koeficientu, ekvivalenčného postulátu a relativistického rozšírenia z mikrodynamiky EDQ.

Connection to the fundamental grid mechanism: This conditional limit specifies a candidate mechanism for emergent gravity: cumulative momentum updates driven by the grid's asymmetric information structure. A firm physical foundation requires a micro-derivation of flux conservation, the response coefficient, the equivalence postulate, and the relativistic extension.

Odmietnutie neviditeľných síl: V rámci EDQ gravitácia neexistuje ako nezávislá príťažlivá sila. Ide o makroskopický prejav toho, že asymetria prechodov v mriežke \(\Omega\) pri každej iterácii mení vnútorný hybnostný vektor vzoru. Prítomnosť hmotnej konfigurácie neurčuje okamžitý systematický posun polohy, ale stabilný tok prírastkov \(\Delta p\), ktorý sa navonok javí ako zrýchlenie. Text preto nezavádza nezávislý nosič sily; lokálne šírenie vplyvu a zachovanie energie a hybnosti však musí ešte ukázať konkrétna mikrodynamika.

Dismissal of invisible pulling forces: Within EDQ, gravity does not exist as an independent pulling force. It is purely a macroscopic manifestation of how transition asymmetry in the \(\Omega\) grid changes the pattern’s internal momentum vector at each iteration. The presence of a massive configuration does not impose an instant positional drift; it generates a persistent stream of \(\Delta p\) increments that appears macroscopically as acceleration. The text therefore introduces no independent force carrier; concrete micro-dynamics must still establish local propagation of influence and energy-momentum conservation.