SK | EN

EDQ: Kvantová prechádzka → Diracova rovnica a Lorentzov limit

EDQ: Quantum Walk → Dirac and Lorentz Limit

Tento dokument ukazuje konkrétny postup, ako možno z diskrétnej mriežky EDQ získať Diracovu rovnicu a približnú Lorentzovu symetriu v nízkoenergetickom limite. Všetko platí iba v limite a pri jasných predpokladoch.

This document shows a concrete path for how a discrete EDQ grid can yield the Dirac equation and approximate Lorentz symmetry in the low-energy limit. Everything is valid only in the stated limit and under clear assumptions.

Krok 1: Diskrétny kvantový krok (náčrt v jednom rozmere)

Step 1: Discrete quantum step (1D sketch)

Uvažujme jednorozmernú mriežku s krokom \(a\) a časovým krokom \(\Delta t\). Stav patrí do tenzorového súčinu polohového Hilbertovho priestoru a dvojrozmerného vnútorného Hilbertovho priestoru. Dva bázové stavy vnútorného priestoru určujú smer podmieneného posunu. Unitárny krok sa skladá z podmieneného posunu a lokálneho unitárneho operátora pôsobiaceho vo vnútornom priestore:

Consider a one-dimensional grid with spacing \(a\) and time step \(\Delta t\). The state belongs to the tensor product of the position Hilbert space and a two-dimensional internal Hilbert space. The two basis states of the internal space determine the direction of the conditional shift. The unitary step consists of a conditional shift and a local unitary operator acting on the internal space:

\[ \Psi_{t+\Delta t} = U \Psi_t, \quad U = S \, C(\theta) \] \[ C(\theta) = e^{-i \theta \sigma_y} \] \[ S = e^{-i k a \sigma_z} \quad \text{(v Fourierovej reprezentácii)} \]

Operátor \(C(\theta)\) je rotácia v dvojrozmernom vnútornom Hilbertovom priestore. Mieša jeho dva bázové stavy, ktoré riadia smer podmieneného posunu. V Diracovom limite sa ich amplitúdy stávajú zložkami spinora a parameter \(\theta\) určuje hmotnostný člen.

The operator \(C(\theta)\) is a rotation in the two-dimensional internal Hilbert space. It mixes the two basis states that control the direction of the conditional shift. In the Dirac limit, their amplitudes become spinor components, and \(\theta\) determines the mass term.

Krok 2: Kontinuálny limit → Dirac

Step 2: Continuum limit → Dirac

Pre malé \(k a\) a malé \(\theta\) expandujeme unitárny krok:

For small \(k a\) and small \(\theta\), expand the unitary step:

\[ U = e^{-i k a \sigma_z} e^{-i \theta \sigma_y} = \exp\!\left[-i( k a \sigma_z + \theta \sigma_y ) + \mathcal{O}(k a\,\theta)\right] \] \[ U \approx e^{-i H \Delta t/\hbar} \quad \Rightarrow \quad H \approx \hbar \frac{a}{\Delta t} k \sigma_z + \hbar \frac{\theta}{\Delta t} \sigma_y \]

Zavedeme parametre:

We identify parameters:

\[ c \equiv \frac{a}{\Delta t}, \quad m c^2 \equiv \frac{\hbar \theta}{\Delta t} \] \[ H \approx c \, p \, \sigma_z + m c^2 \, \sigma_y \quad (p=\hbar k) \]

Po prechode späť do polohovej reprezentácie dostaneme jednorozmerný Diracov tvar:

Returning to position space yields the Dirac form (1D):

\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -i\hbar c \sigma_z \frac{\partial}{\partial x} + m c^2 \sigma_y \right)\psi \]

Explicitný disperzný vzťah: Z vlastných čísel operátora \(U\) dostaneme uzavretý vzťah pre energiu. Pre \(U(k)=e^{-i k a \sigma_z} e^{-i \theta \sigma_y}\) platí:

Explicit dispersion: From the eigenvalues of \(U\) we obtain a closed energy relation. For \(U(k)=e^{-i k a \sigma_z} e^{-i \theta \sigma_y}\) we have:

\[ U(k)\, \chi_\pm = e^{\mp i\varepsilon(k)}\, \chi_\pm, \qquad E_\pm(k)=\pm\frac{\hbar}{\Delta t}\varepsilon(k) \pmod{2\pi\hbar/\Delta t} \] \[ \cos\varepsilon(k) = \cos(k a)\,\cos\theta, \qquad 0\le\varepsilon(k)\le\pi \]
\[ \varepsilon(k)^2 = (k a)^2 + \theta^2 - \frac{1}{3}(k a)^2\theta^2 + \mathcal{O}\!\left((|ka|+|\theta|)^6\right) \] \[ E_\pm^2 \approx p^2 c^2 + m^2 c^4 \quad (p=\hbar k,\; c=a/\Delta t,\; m c^2=\hbar\theta/\Delta t,\; \theta>0) \]

V nízkoenergetickom kontinuálnom limite má kladná vetva skupinovú rýchlosť \(v_g=\partial E_+/\partial p = c^2 p / E_+\), teda \(|v_g| \le c\). Lokálnosť a unitarita kroku zároveň zabezpečujú konečnú rýchlosť šírenia na mriežke (emergentný kauzálny kužeľ).

In the low-energy continuum, the positive branch has group velocity \(v_g=\partial E_+/\partial p = c^2 p / E_+\), hence \(|v_g| \le c\). Locality and unitarity of the step also enforce a finite propagation speed on the grid (an emergent causal cone).

Nerelativistický limit a hmotnosť

Nonrelativistic Limit and Mass

Pre kladnú energetickú vetvu a \(|ka|\ll\theta\ll1\), po odstránení fázy zodpovedajúcej pokojovej energii \(e^{-imc^2t/\hbar}\) platí

For the positive-energy branch with \(|ka|\ll\theta\ll1\), after removing the rest phase \(e^{-imc^2t/\hbar}\),

\[ E_+-mc^2 = \frac{p^2}{2m}+\cdots, \qquad m=\frac{\hbar\theta\Delta t}{a^2}, \qquad \frac{\hbar}{2m}=\frac{a^2}{2\theta\Delta t}. \]

Toto je konzistentná cesta k voľnej Schrödingerovej rovnici. Koeficient sa líši od klasického difúzneho koeficientu \(a^2/(2\Delta t)\) o faktor \(1/\theta\); oba modely preto nemožno stotožniť. V relativistickom limite navyše zostáva \(a/\Delta t=c\) konštantné, kým v klasickom difúznom limite zostáva konštantné \(a^2/\Delta t\); ide o dve odlišné škálovacie procedúry.

This is a consistent route to the free Schrödinger equation. Its coefficient differs from the classical diffusion coefficient \(a^2/(2\Delta t)\) by the factor \(1/\theta\), so the two models cannot be identified. Moreover, the relativistic limit keeps \(a/\Delta t=c\) fixed, whereas the classical diffusion limit keeps \(a^2/\Delta t\) fixed; these are different scaling procedures.

Na reprodukciu Diracovej rovnice v troch priestorových rozmeroch musí unitárny krok pôsobiť na štvorrozmernom vnútornom Hilbertovom priestore. V spojitom limite má jeho efektívny Hamiltonián pôsobiť na štvorzložkový Diracov spinor a obsahovať členy \(\boldsymbol{\alpha}\cdot \nabla\) a \(\beta\).

To reproduce the Dirac equation in three spatial dimensions, the unitary step must act on a four-dimensional internal Hilbert space. In the continuum limit, its effective Hamiltonian must act on a four-component Dirac spinor and contain the terms \(\boldsymbol{\alpha}\cdot \nabla\) and \(\beta\).

Príklad deleného kroku v trojrozmernom prípade, len schematicky: Example split‑step 3D quantum step (schematic):
\[ U = S_z(\delta) \, C(\theta_2) \, S_y(\delta) \, C(\theta_1) \, S_x(\delta) \]
s posunmi \(S_i(\delta)=e^{-i \delta\, p_i \alpha_i/\hbar}\) a lokálnymi unitárnymi operátormi \(C(\theta_j)\) pôsobiacimi vo vnútornom Hilbertovom priestore. with shifts \(S_i(\delta)=e^{-i \delta\, p_i \alpha_i/\hbar}\) and local unitary operators \(C(\theta_j)\) acting on the internal Hilbert space.

Tento zápis je iba návrhom kroku. Až po explicitnom určení matíc operátorov \(C(\theta_1)\) a \(C(\theta_2)\) a vyhodnotení členov BCH rozvoja možno rozhodnúť, či sa v limite \(\delta \to 0\) skutočne získa izotropný efektívny Hamiltonián

This expression is only a proposed step. The matrices of \(C(\theta_1)\) and \(C(\theta_2)\), together with the terms in the BCH expansion, must be evaluated explicitly to determine whether the \(\delta \to 0\) limit actually gives the isotropic effective Hamiltonian

\[ H_{\text{eff}} \approx c\, \boldsymbol{\alpha}\cdot \mathbf{p} + \beta m c^2 \]

Príklad explicitnej voľby matíc \(\alpha_i\) a \(\beta\) v Diracovej reprezentácii na štvorrozmernom vnútornom Hilbertovom priestore:

Example explicit choice of \(\alpha_i,\beta\) (Dirac representation) for a four-component internal spinor space:

\[ \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \]
\[ \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\; \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\; \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \]

V jazyku EDQ to znamená, že lokálna aktualizácia musí pôsobiť na štvorrozmernom vnútornom Hilbertovom priestore tak, aby v limite vznikli uvedené blokové štruktúry.

In EDQ terms this means the local update must act on a four-dimensional internal state space such that the above block structures emerge in the limit.

Čo musí platiť v 3D

What must hold in 3D

Krok 3: Lorentzov limit a disperzia

Step 3: Lorentz limit and dispersion

Z limitného Hamiltoniánu plynie disperzný vzťah s korekciami vyššieho rádu:

From the Hamiltonian in the limit we obtain the dispersion relation with higher-order corrections:

\[ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 -\frac{p^2m^2c^4a^2}{3\hbar^2} +\mathcal{O}\!\left(\frac{\hbar^2c^2}{a^2} \left(\left|\frac{pa}{\hbar}\right|+\left|\frac{mca}{\hbar}\right|\right)^6\right) \]

V explicitne odvodenom 1D sektore má vedúca disperzia Lorentzov tvar pri vlnových dĺžkach \(\lambda \gg a\) a \(mca/\hbar\ll1\). Mriežkové korekcie sa stanú významné, keď bezrozmerné parametre \(pa/\hbar\) alebo \(mca/\hbar\) už nie sú malé. Plná Lorentzova kovariancia v 3+1 rozmeroch zostáva podmienkou, ktorú musí explicitný 3D krok ešte splniť.

In the explicitly derived 1D sector, the leading dispersion has Lorentz form for wavelengths \(\lambda \gg a\) and \(mca/\hbar\ll1\). Lattice corrections become significant when the dimensionless parameters \(pa/\hbar\) or \(mca/\hbar\) are no longer small. Full Lorentz covariance in 3+1 dimensions remains a condition that an explicit 3D step must still satisfy.

Poznámky a riziká (čo treba doriešiť)

Notes and risks (what must be resolved)

Zdvojenie fermiónov (otvorený bod)

Fermion doubling (open item)

EDQ nie je naivná diskretizácia spojitej Diracovej parciálnej diferenciálnej rovnice. Fundamentálny model je diskrétny unitárny krok \(U\), z ktorého Diracov tvar vychádza až v limite \(k a \ll 1\).

EDQ is not a naive slicing of a continuous Dirac PDE. The fundamental model is a discrete unitary step \(U\), and the Dirac form appears only in the \(k a \ll 1\) limit.

Otvorený technický bod je iný: pri disperzii \(\cos(E\Delta t/\hbar)=\cos(k a)\cos\theta\) môže existovať aj \(\pi\)-kvázienergický sektor pri okraji Brillouinovej zóny (\(k\approx \pi/a\)). Preto treba explicitne ukázať odpojenie alebo dynamické potlačenie tohto sektora v merateľnom limite.

The open technical issue is different: for \(\cos(E\Delta t/\hbar)=\cos(k a)\cos\theta\), a \(\pi\)-quasi-energy sector can also exist near the Brillouin-zone edge (\(k\approx \pi/a\)). Therefore, one must explicitly show decoupling or dynamical suppression of that sector in the measurable limit.

V tomto unitárnom jednokrokovom modeli nevznikajú Ostrogradského „duchovia“ (módy so zápornou normou z vyšších časových derivácií), pretože dynamika je prvého rádu v čase. Otvoreným problémom je spektrálne zdvojenie fermiónov, nie problém duchov.

In this unitary one-step model, there are no Ostrogradsky-type ghosts (negative-norm modes from higher time derivatives), because the dynamics is first order in time. The open issue is spectral (doubling), not ghost-like.

Takže nejde o „ten istý problém ako pri diskretizácii parciálnej diferenciálnej rovnice“, ale o kontrolu dodatočných mriežkových módov v diskrétnom unitárnom modeli.

So this is not “the same problem as PDE slicing,” but a control problem for extra lattice modes in a discrete unitary model.

Spinorové transformácie

Spinor Transformations

Pre priestorové rotácie sa spinor transformuje podľa \(SU(2)\). Plné vlastné ortochrónne Lorentzove transformácie však pre spinory opisuje \(\mathrm{Spin}^+(1,3)\simeq SL(2,\mathbb C)\). Diskrétny model preto musí explicitne určiť, ako sa jeho vnútorné stavy mapujú na túto reprezentáciu. Samotná existencia vnútorného Hilbertovho priestoru ani transformácia podľa \(SU(2)\) nestačia na dôkaz plnej Lorentzovej kovariancie.

For spatial rotations, a spinor transforms under \(SU(2)\). The full proper orthochronous Lorentz group instead uses \(\mathrm{Spin}^+(1,3)\simeq SL(2,\mathbb C)\). The discrete model must therefore specify explicitly how its internal states map to this representation. Neither the existence of an internal Hilbert space nor transformation under \(SU(2)\) alone establishes full Lorentz covariance.

Porušenie Lorentzovej invariancie a experimenty

Lorentz violations and experiments

Korekcie sú funkciami bezrozmerných parametrov \(pa/\hbar\) a \(mca/\hbar\). Ich veľkosť musí byť pod experimentálnymi limitmi, čo si vyžaduje explicitnú kalibráciu \(a\) a porovnanie konkrétnej disperzie s dátami.

Corrections are functions of the dimensionless parameters \(pa/\hbar\) and \(mca/\hbar\). Their size must lie below experimental bounds, which requires an explicit calibration of \(a\) and a comparison of the concrete dispersion relation with data.