Tesná obálka pre súčet recipročných prvočísel

A sharp envelope for the reciprocal-prime harmonic sum

4. 6. 2026 Ing. Róbert Polák Matematika, Prvočísla Mathematics, Prime numbers

Pri práci s Robinovou nerovnosťou sa prirodzene objavil vedľajší objekt, ktorý je zaujímavý samostatne: veľmi tesná numerická formula pre súčet recipročných prvočísel na prvočíselných endpointoch \(p_k\). Nejde tu o dôkaz Riemannovej hypotézy. Ide o experimentálny vzťah, ktorý meria, ako presne sa dá zapísať rad \(\sum_{j\le k}1/p_j\) pomocou \(\log\log p_k\), Meisselovej-Mertensovej konštanty a malej oscilujúcej korekcie.

Základný vzťah

Klasický Mertensov tvar hovorí, že

\[ \sum_{p\le x}\frac{1}{p} = \log\log x+B+o(1), \]

kde

\[ B=0.2614972128476427837554268386\ldots \]

je Meisselova-Mertensova konštanta pre prvočísla. Náš experiment sa nezastavuje pri členoch \(\log\log x+B\). Na prime endpointoch \(x=p_k\) definujeme normalizovanú osciláciu

\[ C_{\rm osc}(p_k) = \left( \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} - \log\log p_k - B \right) \sqrt{p_k}\log p_k. \]

Potom presne platí identita

\[ \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} = \log\log p_k+B+ \frac{C_{\rm osc}(p_k)}{\sqrt{p_k}\log p_k}. \]

Samotná identita je len prepis. Zaujímavé je numerické správanie \(C_{\rm osc}(p_k)\). V testoch do \(p_k\le 10^9\) sa táto hodnota správa ako malá oscilujúca konštanta, nie ako veličina, ktorá rýchlo rastie.

Horná formula

Ak pre nejakú obálku \(C_{\rm env}(p_k)\) platí

\[ C_{\rm osc}(p_k)\le C_{\rm env}(p_k), \]

dostaneme praktickú hornú formulu

\[ \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} \le \log\log p_k+B+ \frac{C_{\rm env}(p_k)}{\sqrt{p_k}\log p_k}. \]

Toto je forma, ktorú sme numericky auditovali. Percentuálna rezerva voči skutočnému radu bola počítaná ako

\[ \Delta_\%(p_k;C) = 100\cdot \frac{ \log\log p_k+B+\frac{C}{\sqrt{p_k}\log p_k} - \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} }{ \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} }. \]

Čo vyšlo numericky

Plný scan všetkých prime endpointov do \(p_k\le 10^9\) dáva túto experimentálnu step-obálku:

Od \(p_k\)	stačí \(C\)
127	1.72
110 117 849	1.70
180 218 153	1.60
180 364 813	1.55
180 561 919	1.50
604 539 209	1.48
604 770 343	1.45
604 905 361	1.40
696 290 789	1.35
843 962 519	1.30

Napríklad pre posledný testovaný endpoint \(p_k=999\,999\,937\), ktorý už leží za hranicou \(843\,962\,519\), stačí použiť tesnejšiu hodnotu \(C=1.30\):

\[ \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} = 3.292755718800\ldots \] \[ \log\log p_k+B+ \frac{1.30}{\sqrt{p_k}\log p_k} = 3.292756216134\ldots \]

Percentuálna rezerva bola približne

\[ \Delta_\%=0.000015103864\%. \]

Ako to súvisí s RH

Ak platí Riemannova hypotéza, potom sú oscilácie prvočíselných funkcií kontrolované oveľa silnejšie než v bezpodmienečných odhadoch. Klasická cesta ide cez Chebyshevovu funkciu \(\theta(x)\) a identitu typu Rosser-Schoenfeld

\[ \sum_{p\le x}\frac{1}{p} = \log\log x+B+ \frac{\theta(x)-x}{x\log x} + \int_x^\infty \frac{(\theta(y)-y)(1+\log y)} {y^2\log^2 y}\,dy. \]

Táto formula ukazuje, že chyba v súčte recipročných prvočísel je priamo viazaná na osciláciu \(\theta(x)-x\). Štandardné explicitné dôsledky RH však typicky dávajú širšiu absolútnu obálku, napríklad škálu \(O(\log x/\sqrt{x})\). Náš experimentálny tvar

\[ \frac{C}{\sqrt{x}\log x} \]

je ostrejší a sleduje reálne nameranú prime-endpoint osciláciu. Preto je presnejšie povedať: RH robí takúto kontrolu prirodzenou, ale samotná malá numerická obálka \(C_{\rm env}(p_k)\) je experimentálny vzťah, nie hotová veta.

Status: článok opisuje numerickú a experimentálnu formulu. Nevyhlasuje dôkaz Riemannovej hypotézy ani dôkaz tejto obálky do nekonečna. Hodnota článku je v tom, že zachytáva veľmi tesnú praktickú korekciu k Mertensovej sume na prime endpointoch.

Prečo je to zaujímavé

Bežné explicitné odhady pre \(\sum_{p\le x}1/p\) sú formulované v mocninách \(\log x\), napríklad v tvare \(1/\log^3 x\). Tie sú rigorózne, ale pre veľké \(x\) sú v tejto konkrétnej aplikácii oveľa hrubšie. Náš tvar používa korekciu

\[ \log\log p_k+B+ \frac{C_{\rm env}(p_k)}{\sqrt{p_k}\log p_k}, \]

ktorá je na testovanom rozsahu extrémne tesná. Ak sa táto štruktúra potvrdí na ďalších rozsahoch, môže ísť o zaujímavú samostatnú experimentálnu formulu pre recipročné prvočíselné harmonické súčty.

Výpočtový podklad: numerický audit vznikol zo skriptu test_prime_endpoint_harmonic_formula.py, ktorý testuje endpointy \(x=p_k\) a počíta \(\sum_{j\le k}1/p_j\), \(C_{\rm osc}(p_k)\) a percentuálnu rezervu obálky. Skript bude publikovaný v repozitári robopol/Riemann-hypothesis.

Technická práca: Derived Prime Harmonic Envelope on CA Support zapisuje odvodenie obálky v súvislosti s naším Robin/MVDC rámcom. Blog vyššie je len stručná čitateľná verzia: vysvetľuje, že skúmame, aká malá konštanta \(C\) stačí v korekcii \(C/(\sqrt{p_k}\log p_k)\), aby horná obálka pokryla osciláciu súčtu recipročných prvočísel na prime endpointoch.

While working with Robin's inequality, a side object appeared that is interesting on its own: a very sharp numerical formula for the reciprocal-prime harmonic sum at prime endpoints \(p_k\). This is not a proof of the Riemann Hypothesis. It is an experimental relation measuring how accurately \(\sum_{j\le k}1/p_j\) can be written using \(\log\log p_k\), the Meissel-Mertens constant, and a small oscillating correction.

The relation

The classical Mertens shape is

\[ \sum_{p\le x}\frac{1}{p} = \log\log x+B+o(1). \]

At prime endpoints \(x=p_k\), define

\[ C_{\rm osc}(p_k) = \left( \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} - \log\log p_k - B \right) \sqrt{p_k}\log p_k. \]

Then the exact identity is

\[ \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} = \log\log p_k+B+ \frac{C_{\rm osc}(p_k)}{\sqrt{p_k}\log p_k}. \]

The identity itself is just a renormalisation. The interesting part is the numerical behaviour: up to \(p_k\le 10^9\), \(C_{\rm osc}(p_k)\) behaves like a small oscillating constant.

The upper envelope

If \(C_{\rm osc}(p_k)\le C_{\rm env}(p_k)\), then

\[ \sum_{j\le k}\frac{1}{p_j} \le \log\log p_k+B+ \frac{C_{\rm env}(p_k)}{\sqrt{p_k}\log p_k}. \]

A complete scan of prime endpoints up to \(p_k\le10^9\) gives the following experimental step-envelope:

From \(p_k\)	sufficient \(C\)
127	1.72
110 117 849	1.70
180 218 153	1.60
180 364 813	1.55
180 561 919	1.50
604 539 209	1.48
604 770 343	1.45
604 905 361	1.40
696 290 789	1.35
843 962 519	1.30

Relation to RH

If the Riemann Hypothesis holds, the oscillations of prime-counting functions are controlled much more strongly than in unconditional estimates. The classical route goes through \(\theta(x)\) and the Rosser-Schoenfeld identity

\[ \sum_{p\le x}\frac{1}{p} = \log\log x+B+ \frac{\theta(x)-x}{x\log x} + \int_x^\infty \frac{(\theta(y)-y)(1+\log y)} {y^2\log^2 y}\,dy. \]

Standard explicit consequences of RH still usually give a wider absolute envelope, such as \(O(\log x/\sqrt{x})\). The present formula studies the much sharper observed scale \(C/(\sqrt{x}\log x)\) at prime endpoints. Thus RH makes this kind of cancellation natural, but the small numerical envelope \(C_{\rm env}(p_k)\) should be read as an experimental relation, not as a theorem.

Status: this article records a numerical formula and an experimental envelope. It does not claim a proof of RH or an infinite-range proof of the envelope.

Computational support: the numerical audit comes from test_prime_endpoint_harmonic_formula.py, which tests endpoints \(x=p_k\) and computes \(\sum_{j\le k}1/p_j\), \(C_{\rm osc}(p_k)\), and the percentage margin of the envelope. The script will be published in the robopol/Riemann-hypothesis repository.

Technical note: Derived Prime Harmonic Envelope on CA Support records the derivation in the context of our Robin/MVDC framework. This blog post is the short readable version: it explains how small a constant \(C\) appears to be sufficient in the correction \(C/(\sqrt{p_k}\log p_k)\) to cover the observed oscillation of the reciprocal-prime harmonic sum at prime endpoints.