Úvod do výskumu prvočísiel

Introduction to Prime Number Research

Prvočísla sú prirodzené čísla väčšie ako 1, ktoré sú deliteľné iba číslom 1 a sebou samým. Tieto čísla zohrávajú kľúčovú úlohu v teórii čísel a majú široké praktické využitie, najmä v kryptografii a zabezpečení dát.

Prime numbers are natural numbers greater than 1 that are divisible only by 1 and themselves. These numbers play a key role in number theory and have wide practical applications, especially in cryptography and data security.

Napriek ich jednoduchej definícii, hľadanie a testovanie prvočísiel, najmä veľkých, predstavuje významný výpočtový problém. Môj výskum sa zameriava na vývoj efektívnych metód a algoritmov, ktoré umožňujú rýchlejšie hľadanie a testovanie prvočísiel s dôrazom na optimalizáciu výpočtových zdrojov.

Despite their simple definition, finding and testing prime numbers, especially large ones, represents a significant computational challenge. My research focuses on developing efficient methods and algorithms that enable faster finding and testing of prime numbers with an emphasis on optimizing computational resources.

Vylepšené algoritmy na hľadanie prvočísiel

Enhanced Algorithms for Finding Prime Numbers

V rámci výskumu som vyvinul niekoľko optimalizovaných algoritmov na hľadanie prvočísiel, ktoré výrazne zlepšujú výkonnosť oproti tradičným metódam:

As part of my research, I have developed several optimized algorithms for finding prime numbers that significantly improve performance compared to traditional methods:

Algoritmus s efektívnym filtrovaním malých deliteľov

Algorithm with Efficient Small Divisor Filtering

Tento algoritmus kombinuje klasické metódy filtrovania s paralelizovaným Fermatovým testom prvočíselnosti optimalizovaným pomocou GMP cez gmpy2:

This algorithm combines classical filtering methods with parallelized Fermat primality testing optimized using GMP via gmpy2:

• Efektívne filtrovanie malých deliteľov - rýchle odstraňovanie zložených čísel kontrolou deliteľnosti malými prvočíslami (2, 3, 5, 7, 11, 13)
• Testovanie potenciálnych deliteľov tvaru 6k±1
• Paralelizovaný Fermatov test pomocí Python multiprocessingu pre rýchle odhalenie zložených čísel
• GMP optimalizácia cez gmpy2 pre efektívne modulárne umocňovanie pri extrémne veľkých číslach

• Efficient small divisor filtering - quick elimination of composite numbers by checking divisibility using small primes (2, 3, 5, 7, 11, 13)
• Testing potential divisors of the form 6k±1
• Parallelized Fermat testing using Python multiprocessing for rapid detection of composite numbers
• GMP optimization via gmpy2 for efficient modular exponentiation on extremely large numbers

Algoritmus dokáže testovať veľmi veľké čísla (až 2^100000) v niekoľkých sekundách na štandardných desktopových počítačoch a efektívne identifikuje pseudoprvočísla.

The algorithm can test very large numbers (up to 2^100000) in just a few seconds on standard desktop computers and effectively identifies pseudoprimes.

Podrobný popis algoritmu a jeho implementácia sú dostupné v článku Very Fast algoritmus na prvočísla.

A detailed description of the algorithm and its implementation are available in the article Very Fast Prime Number Algorithm.

Robustné filtrovanie pseudoprvočísiel

Robust Pseudoprime Filtering

Algoritmus je optimalizovaný pre vysoký výkon na veľkých číslach a konkuruje Miller-Rabinovmu testu v rýchlosti aj spoľahlivosti:

The algorithm is optimized for high performance on large numbers and competes with the Miller-Rabin test in both speed and reliability:

• Kombinácia klasického filtrovania s Fermatovým testom na efektívnu identifikáciu pseudoprvočísiel
• Využitie vysoko optimalizovanej GMP knižnice cez gmpy2 pre modulárne umocňovanie na extrémne veľkých číslach
• Paralelné spúšťanie Eulerových testov pre viacero náhodných báz súčasne pomocí Python multiprocessingu
• Benchmarky ukazujú testovanie veľmi veľkých čísel (až 2^100000) v niekoľkých sekundách na štandardných počítačoch

• Combination of classical filtering with Fermat testing for effective pseudoprime identification
• Utilization of the highly optimized GMP library via gmpy2 for modular exponentiation on extremely large numbers
• Parallel execution of Euler tests for multiple bases concurrently using Python multiprocessing
• Benchmarks show testing of very large numbers (up to 2^100000) in just a few seconds on standard computers

Tento prístup robí algoritmus konkurencieschopným s Miller-Rabinovým testom v rýchlosti aj spoľahlivosti pri identifikácii pseudoprvočísiel.

This approach makes the algorithm competitive with the Miller-Rabin test in both speed and reliability for pseudoprime identification.

Podrobný popis algoritmu a jeho implementácia sú dostupné v článku Algoritmus na extrémne prvočísla v Pythone.

A detailed description of the algorithm and its implementation are available in the article Algorithm for Extreme Prime Numbers in Python.

Rozklad veľkých čísel na prvočísla

Factorization of Large Numbers into Primes

Súčasťou výskumu je aj vývoj efektívnych algoritmov na faktorizovanie veľkých čísel. Tento problém je výpočtovo náročný a má kľúčový význam v kryptografii, keďže bezpečnosť mnohých kryptografických systémov (napr. RSA) je založená práve na obtiažnosti rozkladu veľkých čísel na prvočísla.

Part of the research is also the development of efficient algorithms for factoring large numbers. This problem is computationally intensive and has key importance in cryptography, as the security of many cryptographic systems (e.g., RSA) is based on the difficulty of factoring large numbers into primes.

Implementovaný algoritmus využíva moderne optimalizované prístupy:

The implemented algorithm uses modern optimized approaches:

• GMP optimalizácia cez gmpy2 pre aritmetiku s veľkými číslami
• Paralelné skúšobné delenie využívajúce všetky CPU jadrá
• Kandidáti tvaru 6k±1 pre efektívne testovanie (po odfiltrovaní 2 a 3)
• Sympy integrácia pre test prvočíselnosti zvyšných faktorov
• Optimalizované hranice testovania √n s gmpy2 isqrt funkciou

• GMP optimization via gmpy2 for large number arithmetic
• Parallel trial division utilizing all CPU cores
• Candidates of the form 6k±1 for efficient testing (after filtering out 2 and 3)
• Sympy integration for primality testing of remaining factors
• Optimized testing bounds √n with gmpy2 isqrt function

Algoritmus kombinuje vysokú presnosť s paralelizáciou, čo umožňuje efektívne faktorizovanie čísel s desiatkami číslic. Používa multiprocessing.Pool s počtom procesov rovným počtu CPU jadier.

The algorithm combines high precision with parallelization, enabling efficient factorization of numbers with dozens of digits. It uses multiprocessing.Pool with number of processes equal to CPU core count.

Podrobný popis algoritmu a jeho implementácia sú dostupné v článku Rozklad veľkých čísel.

A detailed description of the algorithm and its implementation are available in the article Factorization of Large Numbers.

Súvislosť s Riemannovou hypotézou

Connection to the Riemann Hypothesis

Výskum prvočísiel úzko súvisí s Riemannovou hypotézou, jedným z najvýznamnejších nevyriešených problémov v matematike. Riemannova hypotéza poskytuje matematický rámec pre pochopenie distribúcie prvočísiel.

Prime number research is closely related to the Riemann Hypothesis, one of the most significant unsolved problems in mathematics. The Riemann Hypothesis provides a mathematical framework for understanding the distribution of prime numbers.

V rámci výskumu som sa zameral na:

As part of my research, I focused on:

• Štúdium odchýlok skutočnej distribúcie prvočísiel od teoretických predpovedí
• Analýzu funkcie π(x), ktorá počíta prvočísla menšie alebo rovné x
• Výpočet a vizualizáciu núl Riemannovej zeta funkcie a ich vzťah k prvočíslam

• Studying deviations of the actual distribution of prime numbers from theoretical predictions
• Analysis of the function π(x), which counts prime numbers less than or equal to x
• Calculation and visualization of the zeros of the Riemann zeta function and their relationship to prime numbers

Tieto výskumy pomáhajú lepšie porozumieť štruktúre a rozloženiu prvočísiel v prirodzených číslach.

These studies help to better understand the structure and distribution of prime numbers within natural numbers.

Viac informácií o súvislostiach medzi prvočíslami a Riemannovou hypotézou je dostupných v článkoch Prvočísla a Riemannova hypotéza - 2. diel a Prvočísla a Riemannova hypotéza - 3. diel.

More information about the connections between prime numbers and the Riemann Hypothesis is available in the articles Prime Numbers and the Riemann Hypothesis - Part 2 and Prime Numbers and the Riemann Hypothesis - Part 3.

Praktické aplikácie výskumu

Practical Applications of Research

Výsledky výskumu prvočísiel majú praktické využitie v niekoľkých oblastiach:

The results of prime number research have practical applications in several areas:

Kryptografia a bezpečnosť

Cryptography and Security

Efektívne algoritmy na hľadanie a testovanie prvočísiel sú základom pre asymetrické kryptosystémy ako RSA. Vyvinuté algoritmy umožňujú rýchlejšie generovanie kryptografických kľúčov a overovanie ich bezpečnosti.

Efficient algorithms for finding and testing prime numbers are the foundation for asymmetric cryptosystems like RSA. The developed algorithms enable faster generation of cryptographic keys and verification of their security.

Teória čísel

Number Theory

Algoritmy poskytujú nástroje pre výskum v teórii čísel, čo umožňuje testovanie matematických hypotéz a skúmanie vlastností prvočísiel.

The algorithms provide tools for research in number theory, enabling the testing of mathematical hypotheses and exploration of prime number properties.

Výpočtové optimalizácie

Computational Optimizations

Techniky vyvinuté pre algoritmy na prvočísla sú aplikovateľné aj v iných oblastiach výpočtovej matematiky, kde je potrebné efektívne spracovanie veľkých čísel.

Techniques developed for prime number algorithms are also applicable in other areas of computational mathematics where efficient processing of large numbers is required.

Vzdelávanie

Education

Algoritmy a ich implementácie slúžia ako vzdelávacie nástroje pre študentov matematiky a informatiky, poskytujúc praktické príklady algoritmických techník a optimalizácií.

The algorithms and their implementations serve as educational tools for students of mathematics and computer science, providing practical examples of algorithmic techniques and optimizations.