Platnost Riemannovej hypotezy -2 diel

Úvod

Tento diel je pokračovaním predchádzajúceho článku (viď. odkaz), ktorý je venovaný platnosti/neplatnosti Riemannovej hypotézy. V tomto diele sa pokúsime pokročiť a pospájať doposiaľ zverejnené súvislosti. Uvedené vzťahy boli naprogramované a ich priebeh je zobrazený v jednotlivých grafoch.


Nereálny počet deliteľov

Skúsme vypočítať priebeh, resp. limitu prípadu, kedy každé číslo má počet deliteľov od 1 po N. Celkom teda je počet deliteľov čísla N = N.

Z toho odvodíme súčet radu:

Screenshot - 18_ 2jpg

Priebeh takejto funkcie je na obr. 6

Obrzok1jpg

Obr. 6 Priebeh funkcie (N+1)/(2 ln(ln N)), zdroj: vlastný obrázok

Limita tejto funkcie je:

Screenshot - 18_ 2 002jpg

Pre nereálny prípad, že číslo N má všetkých deliteľov, teda počet deliteľov čísla N je znova N máme stúpajúcu funkciu indexu a limita je nekonečno.


Musíme teraz zistiť aká je funkcia počtu deliteľov pre rôzne rozvoje. Zaveďme index pre porovnanie, nazvime ho:

Index počtu deliteľov čísla N:

Screenshot - 18_ 2 003jpg

Pre prípad, viď. vyššie je Id(N)=1. Teda funkcia je polpriamka prechádzajúca y=1.

Keďže nemáme analytické funkcie sigmy pre rôzne prvočíselné rozvoje musíme sa pozrieť na priebeh empiricky. Vytvoríme jednoduchý program na výpočet sigmy, indexu Id(N) a Gay Robin indexu. Vytvoríme to pre tri varianty:

  • Pattern prvočísiel v súčine za sebou
  • Pattern prirodzených čísiel v súčine za sebou
  • Ideálny pattern

Pattern prvočísiel v súčine za sebou

Ide o pattern, ktorý nám ukáže ako sa to správa pri dlhom rozvoji súčinu prvočísiel, bez mocnín prvočísiel.

To je prípad:

Screenshot - 18_ 2 004jpg

Tabuľka zistených hodnôt:

Screenshot - 22_ 2jpg

Jednotlivé priebehy:

Screenshot - 22_ 2 002jpg

Obr.7  Priebeh sigma z tabulky, zdroj: vlastný obrázok.

Screenshot - 18_ 2 007jpg

Obr. 8 GayRobin index z tabulky, zdroj: vlastny obrázok.

Vyhodnotenie: 

Pre tento pattern je vidieť, že index Id(n) klesá k nule, Gay Robin index klesá taktiež. Pri sigme sa objavila korelácia hodnôt R=1 (Excel vyhodnotil), funkcia je uvedená na obrázku. Korelácia nie je presne rovná 1, no je to hrubá aproximácia (pre vysoke hodnoty), ktorá by sa dala spresniť s väčším počtom čísiel tohto rozkladu.  Pre zaujímavosť limita Gay Robin indexu v takejto aproximácií je:

Screenshot - 18_ 2 008jpg

Zatiaľ je to empirický dôkaz na pár hodnotách, no v skutočnosti sa to principiálne nemôže nijak zmeniť, pretože tento pattern sa smerom k nekonečnu nemení. Chcelo by to nejaký šikovný dôkaz, no nateraz to nie je dôležité.


Pattern prirodzených čísiel v súčine za sebou

Tento vzor je charakteristický mocninami prvočísiel, ktoré postupne klesajú, veľmi je podobný idálnemu vzoru (pre maximalizáciu) sigmy.

Všeobecne to môžeme zapísať takto:

Screenshot - 19_ 2 004jpg

Viď. tabuľka nižšie.

Tabuľka zistených hodnôt:

Screenshot - 19_ 2jpg

Jednotlivé priebehy: 

Screenshot - 22_ 2jpg

Obr.9 Priebeh sigma z tabulky, zdroj: vlastný obrázok.

Screenshot - 22_ 2 002jpg

Obr. 10 GayRobin index z tabulky, zdroj: vlastny obrázok.

Vyhodnotenie: 

Tento vzor vychádza lepšie ako predchádzajúci, viď. tabuľka. Do tohto vzoru zapadlo aj číslo 5040. Pri priebehu Gay Robin indexu dochádza k miernej oscilácii hodnôt, kde neplatí, že nasledujúci index je vždy menší. To je dané tým, že tento pattern za určitých okolnosti (ako je prípad 5040) sa priblíži k ideálnemu patternu (taký, čo maximalizuje sigmu). Celkovo však znova vidieť klesajúcu funkciu Gay Robin indexu.

Z týchto dvoch vzorov sa dá vyskladať ideálny pattern. Ideálny pattern je teda určitou kombináciou % podielom prvého a druhého patternu. Empiricky však tieto dva vzory ukazujú klesajúcu tendenciu smerom k nekonečnu. Klesajúci faktor je pozvoľný no badateľný a smerom k nekonečnu spomaľuje. Pokiaľ teda nemáme analytické funkcie pre sigmu a následne pre Gay Robin index, potom musíme určiť aspoň horné ohraničenie, cez ktoré sa tieto funkcie nemôžu dostať. To by potom následne mohlo byť akceptované ako dôkaz platnosti Riemannovej hypotézy.

Ideálny pattern

V predchádzajúcom diely boli zobrazené (obr.5) dva ideálne vzory. Tento vzor vznikne najvýhodnejšou kombináciou predchádzajúcich dvoch vzorov. Pozostáva teda z väčšej časti z vzoru (obr. 9,10) a menšej časti – chvost (obr.7,8).

Pre tento pattern neexistuje jednoduchý predpis, preto je znova potrebné použiť programovanie a preveriť to empiricky. Očakávame, že rovnako ako predchádzajúce dva patterny by z princípu mal klesať (Gay Robin index).


___článok je vo výstavbe____